du no 22 (Ire Partie), on aura, pour la surface cherchée, la formule
![{\displaystyle 2\pi a^{2}+{\frac {2\pi ac^{2}}{\mathrm {E} }}\operatorname {angle} \left(\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {E} }{a}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a2e7e0c4c95877675a698479dd71c5a6d38350)
87. Si l’on n’avait pas fait
et qu’on eût supposé, en général,
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{2}={\frac {a^{2}\sin ^{2}u+b^{2}\cos ^{2}u}{a^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ebaecf44562a319670467fbff18ac75b4eccf4)
on eût eu, pour la fonction primitive relative à
la formule
![{\displaystyle ab+{\frac {ac^{2}\mathrm {V} ^{2}}{2e}}\operatorname {l} {\frac {b+e}{b-e}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c94958b30bf6faefb322c5a63e596e67f1dfe4)
où
![{\displaystyle e^{2}=b^{2}-c^{2}\mathrm {V} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef367328fbca249741ca61a5c76b0abae46078e3)
et il aurait été impossible, dans l’état actuel de l’Analyse, de trouver la fonction primitive de celle-ci relative à
Mais on peut toujours avoir cette fonction par approximation lorsque la différence des demi-axes
et
est assez petite.
Soit
cette quantité étant positive ou négative, la quantité
deviendra
et il n’y aura qu’à mettre, dans la formule précédente,
à la place de
ensuite développer par rapport à
Donc, si l’on suppose
![{\displaystyle {\frac {ac^{2}}{2{\sqrt {b^{2}-c^{2}}}}}\operatorname {l} {\frac {b+{\sqrt {b^{2}-c^{2}}}}{b-{\sqrt {b^{2}-c^{2}}}}}=f(c^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73335f07dfe7240258ba67e0c6eac166ccb17f0a)
on aura, en développant par les fonctions dérivées relatives à
la série
![{\displaystyle ab+f\left(c^{2}\right)+f'\left(c^{2}\right)c^{2}icos^{2}u+{\frac {1}{2}}f''\left(c^{2}\right)c^{4}i^{2}cos^{4}u+{\frac {1}{2.3}}f'''\left(c^{2}\right)c^{6}i^{3}cos^{6}u+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef2797f2c4a051494efb736837c7be7128f6087)
dont il faudra prendre les fonctions primitives relatives à
depuis
jusqu’à ![{\displaystyle u=2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a88384f4defeae83758f30e77ff1252c3d49c4)
Désignons par
les fonctions primitives de
prises entre ces limites ; on aura, pour la surface de