Soit
on aura la fonction primitive par rapport à
![{\displaystyle -{\frac {as}{2}}{\sqrt {c^{2}+e^{2}s^{2}}}+{\frac {ac^{2}}{2e}}\operatorname {l} \left({\sqrt {c^{2}+e^{2}s^{2}}}-es\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb09894860b74b7cc34784c26905c4cfd00a0717)
et, faisant
elle deviense réduit à
![{\displaystyle -{\frac {ab}{2}}+{\frac {ac^{2}}{2e}}\operatorname {l} (b-e)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8882c02ed2ece97d163e3d36505584f7cfe09311)
et, faisant
elle devient
![{\displaystyle {\frac {ab}{2}}+{\frac {ac^{2}}{2e}}\operatorname {l} (b+e).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a15410cd8d5b05acf955d7046e27abd6cc574a)
Donc la fonction primitive complète, relativement à
ou à
sera
![{\displaystyle ab+{\frac {ac^{2}}{2e}}\operatorname {l} {\frac {b+e}{b-e}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2295d379f4061f7d87db16d79d7a207b0a7898)
Il faut de nouveau en prendre la fonction primitive relative à
et comme la variable
ne s’y trouve pas, on se contentera de la multiplier par
et, faisant maintenant
on aura, pour la surface entière du sphéroïde formé par la révolution d’une ellipse dont les demi-axes sont
et
autour du petit axe
la formule
![{\displaystyle 2\pi a^{2}+{\frac {\pi ac^{2}}{e}}\operatorname {l} {\frac {a+e}{a-e}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4fb5e65e2cd61645bc5f1d8912d3c4837c85152)
où
est l’excentricité ![{\displaystyle ={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0239cec4406195ae3217ba5c165363deefc811a4)
Pour que la valeur de
soit réelle, il faut que
et, par conséquent, que le sphéroïde soit aplati et formé par la révolution de l’ellipse autour de son petit axe
Si l’on voulait avoir la surface d’un sphéroïde allongé formé par la révolution d’une ellipse autour de son grand axe, il faudrait prendre
pour son grand axe : alors la valeur de
deviendrait imaginaire. Soit pour ce cas,
on aura
![{\displaystyle e=\mathrm {E} {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad7006b4e958dfe7ee937869aee02b557496192f)
et, passant des logarithmes imaginaires aux arcs réels par les formules