on fera
![{\displaystyle f(x)={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421b621a5d806d9b294b347ddde46d99d84865ca)
et l’on aura (no 12), en mettant
au lieu de
dans ![{\displaystyle e^{mx},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a43a7839d0957088eeca61fef2ed736392ed91)
![{\displaystyle f'(x)={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}}=\cos x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bd83213cf9fe8fa351ff6861f3e21e03cb90cd)
De même, en faisant
![{\displaystyle f(x)=\cos x={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cbc40a3f850e5ceb4362b63e21c697504c4928b)
on trouvera
![{\displaystyle f'(x)={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}}{\sqrt {-1}}=-\sin x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8366488dfda5b4c49e9c46881fd52c2746c587b0)
Connaissant ainsi les fonctions primes des fonctions
on en déduira facilement toutes les autres fonctions dérivées.
En effet, puisque
a donné
et que
a donné
on aura, pour
![{\displaystyle f'(x)=\cos x,\quad f''(x)=-\sin x,\quad f'''(x)=-\cos x,\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)=\sin x,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0595b16e971e2dd9b40d56d18b739dd7f7a4e4)
et, pour
on aura
![{\displaystyle f'(x')=-\sin x,\quad f''(x)=-\cos x,\quad f'''(x)=\sin x,\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)=\cos x,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed18127c47c5eaf4d5497e34acaae4731a08396)
D’après ces formules, on aura sur-le-champ les séries
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+i)=&\sin x+i\cos x-{\frac {i^{2}}{2}}\sin x-{\frac {i^{3}}{2.3}}\cos x+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}\sin x+\ldots ,\\\cos(x+i)=&\cos x-i\sin x-{\frac {i^{2}}{2}}\cos x+{\frac {i^{3}}{2.3}}\sin x+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}\cos x-\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58dbab8ee735e472db0d3ff6a14192eb9b34213)
d’où, en faisant
et changeant
en
on tire les séries connues
![{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{2.3}}+{\frac {x^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots ,\quad \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5753dff6a475f0910a2ebb8839712bbd1e6a1f0)
15. Les fonctions
que nous venons de considérer doivent être regardées comme les fonctions simples analytiques