se détruire d’eux-mêmes et former autant d’équations à part. On aura donc ainsi
![{\displaystyle {\frac {1}{x}}=\mathrm {A} f'(x),\quad \mathrm {A} f''(x)+\mathrm {A} ^{2}f'^{2}(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e78221d99a9bb8b521a2448c884d3e553c67ca)
et ainsi de suite.
Donc,
étant égal à
on aura, en général,
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\mathrm {A} x}}={\frac {1}{x\operatorname {l} a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89051edfe19fedf88bf0075c8e160f17d7ca35e9)
et de là, par la formule générale du no 10, on tirera
![{\displaystyle f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}\operatorname {l} a}},\quad f'''(x)={\frac {2}{x^{3}\operatorname {l} a}},\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)=-{\frac {2.3}{x^{4}\operatorname {l} a}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58129a14e70a878d71a73b01222f5c9c6794cd9f)
valeurs qui satisfont, comme l’on voit, aux différentes équations trouvées ci-dessus. Ainsi, par la substitution de ces valeurs dans la série
on aura sur-le-champ
![{\displaystyle \log(x+i)=\log x+{\frac {i}{x\operatorname {l} a}}-{\frac {i^{2}}{2x^{2}\operatorname {l} a}}+{\frac {i^{3}}{3x^{3}\operatorname {l} a}}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52c170cbfba86a2bff2ea8e28b8558056e69dab)
Faisant
et changeant
en
on aura la formule connue
![{\displaystyle \log(1+x)={\cfrac {x-{\cfrac {x^{2}}{2}}+{\cfrac {x^{3}}{3}}-\ldots }{\operatorname {l} a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642f3906297dacb900ce9b7eface3c71e5348301)
Pour les logarithmes hyperboliques où
on aura simplement
![{\displaystyle f(x)=\operatorname {l} x,\quad f'(x)={\frac {1}{x}},\quad f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/249706bdc49a975b7e3eef04de1e470ceab2d182)
14. Lés sinus et cosinus d’angles considérés analytiquementne sont que des expressions composées d’exponentielles imaginaires ; ainsi, on peut déduire leurs fonctions dérivées de celles de ces exponentielles.
Soit donc, en quatrième lieu,
comme on a
![{\displaystyle \sin x={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},\quad \cos x={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af962b3bc1e5d48b2bf4e3c22c0fec44c195bf76)