vitesse du corps, est
on aura celle-ci :
![{\displaystyle x''=-{\frac {rx'}{u}},\quad y''=-g-{\frac {ry'}{u}},\quad z''=-{\frac {rz'}{u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a4b97d0344d996836db711be1d098099fd6fee7)
La première et la dernière donnent
![{\displaystyle {\frac {x''}{x'}}={\frac {z''}{z'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b75ece71fa24af04436768e4b465ae2aa442e1)
d’où l’on tire, en prenant les fonctions primitives,
![{\displaystyle z=mx+n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8343b938682ff45149c59150b9e423aa5ca75152)
et
étant des constantes arbitraires. Cette équation, étant celle d’un plan vertical, fait voir que la courbe est nécessairement toute dans ce blan ainsi, en prenant l’axe des
dans ce même plan, on aura
et
et les équations de la courbe se réduiront aux deux premières. Mais, comme dans ces équations les variables
sont supposées fonctions du temps, et que pour avoir l’équation de la courbe on doit regarder
comme fonction de
il faudra chercher ses fonctions dérivées dans cette hypothèse par les formules du numéro précédent.
Supposons, pour abréger,
on aura
![{\displaystyle x''=-qx',\quad y''=-g-qy'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e96c127eb9bcd44ce9d8b7e10e29c236cc35e18)
substituant ces valeurs dans l’expression de
du no 16, on aura
![{\displaystyle (y'')=-{\frac {g}{x'^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b24bb72c09c60ae3ec0e87ba0314dd4f29d9dd)
ainsi la valeur de
dépend de
Or on a, par le même numéro,
![{\displaystyle (y''')={\frac {y'''}{x'^{3}}}-{\frac {y'x'''}{x'^{4}}}-{\frac {3(y'')x''}{x'^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0113dde09e9d2d7f577c2c18ce6ea7d6d9d62f6)
mais, connaissant les valeurs de
et
il n’y aura qu’à prendre leurs fonctions primes pour avoir celles de
et
et l’on trouvera, en désignant par
la fonction prime de ![{\displaystyle q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa74b799849683cad6a0b79ebd9bf58bdf9890a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'''=&-qx''-q'x'=\left(q^{2}-q'\right)x',\\y'''=&-qy''\,-q'y'=qg+\left(q^{2}-q'\right)y'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d5864e549469d7b36d8f15c5b9175fd69732b1)