Par ces substitutions, les deux premiers termes de la valeur de
donneront
et le terme
donnera
de sorte que l’on aura
Or,
étant
on fera cette substitution, et l’on en chassera
et
au moyen des équations
et
lesquelles donneront
![{\displaystyle x'^{3}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}=x'^{4}{\sqrt {1+(y')^{2}}}={\frac {g^{2}{\sqrt {1+(y')^{2}}}}{(y'')^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406d5e96c7ff0218094baac8224bd0824f641172)
on aura ainsi
![{\displaystyle (y''')=-{\frac {2r(y'')^{2}}{g{\sqrt {1+(y')^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b223b3e96026b22a6cbd771820bc5d4fe32e06cf)
Comme les fonctions dérivées
se rapportent maintenant à la variable
nous pouvons les représenter simplement par
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {r}{g}}=-{\frac {y'''{\sqrt {1+(y')^{2}}}}{2y''^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c0f95c8a4280377b726cbc8ed473ba9d966f2bd)
Or, la courbe étant donnée, on a
en fonction de
de là on tirera les fonctions dérivées
et la formule précédente donnera, pour chaque point de la courbe, le rapport de la résistance à la gravité.
La vitesse
sera
![{\displaystyle u={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}=x'{\sqrt {1+(y')^{2}}}={\frac {{\sqrt {g}}{\sqrt {1+(y')^{2}}}}{\sqrt {-(y'')}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04efe2d4b4babf8a4498352c04d6ca5d593f2688)
c’est-à-dire, en changeant
en ![{\displaystyle y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33aad40b1beb229f0301be9a583679828dd1429e)
![{\displaystyle u={\frac {{\sqrt {g}}{\sqrt {1+y'^{2}}}}{\sqrt {-y''}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6c434987ffba042c5a08ca94d630cbb7833d45)
Pour traduire ces formules en Calcul différentiel, il faudra changer
en
et
en
en prenant
constant, parce que ces fonctions dérivées sont ici relatives à la variable
Si l’on suppose la résistance proportionnelle au carré de la vitesse et