36. Maintenant, si les corps du système n’éprouvent d’autres actions que celles qui peuvent résulter de leur liaison mutuelle, les équations du mouvement relatives aux coordonnées
seront de cette forme (nos 26 et 30) :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {M} x''=\Pi \operatorname {F} '(x)+\Psi \Phi '(x)+\ldots ,\\&\mathrm {M} y''\,=\Pi \operatorname {F} '(y)+\Psi \Phi '(y)+\ldots ,\\&\mathrm {N} \ \xi ''\,=\Pi \operatorname {F} '(\xi )\,+\Psi \Phi '(\xi )+\ldots ,\\&\mathrm {N} \eta ''\ =\Pi \operatorname {F} '(\eta )+\Psi \Phi '(\eta )+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d0fb2e53c63ad21c6590ba7c44a2bcee8fc66cd)
Donc, si l’on ajoute la seconde de ces équations multipliée par
la quatrième multipliée par
et ainsi de suite, et qu’on en retranche la première multipliée par
la troisième multipliée par
etc., on aura, en vertu des équations de condition trouvées ci-dessus, l’équation
![{\displaystyle \mathrm {M} (xy''-yx'')+\mathrm {N} (\xi \eta ''-\eta \xi '')-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd042b3a2d15ee38b6e6345454e609f74c432de6)
qui est aussi, comme l’on voit, indépendante des conditions du système.
En prenant son équation primitive, on aura
![{\displaystyle \mathrm {M} (xy'-yx')+\mathrm {N} (\xi \eta '-\eta \xi ')+\ldots =\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35dd02005bfd6118224482427dd04ca89dd2532)
étant une constante arbitraire. Ainsi l’on a tout de suite une équation du premier ordre entre les coordonnées
des différents corps.
Or
mais
est la fonction prime de
c’est-à-dire du double de l’aire du triangle rectangle dont
est la base et
la hauteur, et
est la fonction prime de l’aire de la courbe comprise entre l’abscisse
et l’ordonnée
donc
sera la fonction prime de la différence du triangle et de l’aire dont nous parlons, et il est facile de voir que cette différence est, en général, égale à l’espace compris entre la courbe dont
et
sont les coor-