de
ce qui est encore la même chose que
on aura
![{\displaystyle y=\left[(1+a-1)^{n}\right]^{\frac {x}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e687c33b0e97c2ca565c9f33ff18d6cb90a319)
étant une quantité quelconque qui disparaît d’elle-même dans la valeur de
.
Je développe maintenant le binôme
dans la série
![{\displaystyle 1+n(a-1)+{\frac {n(n-1)}{2}}(a-1)^{2}+{\frac {n(n-1)(n-1)}{2.3}}(a-1)^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54d22544d9864bf2454a7dc5f7511df0a87a2eb)
et j’ordonne les termes suivant les puissances de
j’aurai
![{\displaystyle (1+a-1)^{n}=1+\mathrm {A} n+\mathrm {B} n^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ab1a8ae658bd00063649d64c5366026822ac93)
les coefficients
étant donnés en
et il est aisé de voir qu’on aura d’abord
![{\displaystyle \mathrm {A} =(a-1)-{\frac {(a-1)^{2}}{2}}+{\frac {(a-1)^{3}}{3}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd64c111dc3f3d045e72e21c954b207539e02ec)
cette quantité
étant la même que celle du no 11 ; à l’égard des autres coefficients, nous n’aurons pas besoin de les chercher, puisqu’ils disparaîtront du calcul, comme on va le voir.
Faisant cette substitution, nous aurons
![{\displaystyle y=\left(1+\mathrm {A} n+\mathrm {B} n^{2}+\ldots \right)^{\frac {x}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397ea65f176c3ba6a5d23f0307ac03c580d42784)
et, développant à la manière du binôme, il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&1+{\frac {x}{n}}\left(\mathrm {A} n+\mathrm {B} n^{2}+\ldots \right)+{\frac {x(x-n)}{2n^{2}}}\left(\mathrm {A} n+\mathrm {B} n^{2}+\ldots \right)^{2}\\&+{\frac {x(x-n)(x-2n)}{2.3n^{3}}}\left(\mathrm {A} n+\mathrm {B} n^{2}+\ldots \right)^{3}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b7dffe867f11c8eee7119c7a3428270b15b2b0)
savoir, en effaçant les puissances de
communes aux numérateurs et aux dénominateurs,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&1+x\left(\mathrm {A+B} n+\ldots \right)+{\frac {x(x-n)}{2}}\left(\mathrm {A+B} n+\ldots \right)^{2}\\&+{\frac {x(x-n)(x-2n)}{2.3}}\left(\mathrm {A+B} n+\ldots \right)^{3}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce7bb3bbd51e39b7a5ebd6afc3e0904567d3d8e)