Maintenant, comme la quantité
est arbitraire et doit, par la nature même de la fonction
disparaître de l’expression de cette fonction, il faudra que tous les termes multipliés par chaque puissance de
se détruisent mutuellement. Ne tenant donc aucun compte de ces termes, qui doivent disparaître d’eux-mêmes quel que soit
on aura simplement
![{\displaystyle y=a^{x}=1+x\mathrm {A} +{\frac {x^{2}\mathrm {A} ^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}\mathrm {A} ^{3}}{2.3}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3ff831c461ae93bf0ae767e49d344564ed5c81)
comme plus haut (no 11).
19. Cherchons de la même manière la valeur de
en
Pour cela, nous mettrons l’équation
sous la forme
![{\displaystyle (1+a-1)^{nx}=(1+y-1)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab36d7fbc7020d0eb65db83aa5b89ca89f3212a)
qui est identique avec la précédente, et où
est encore une quantité quelconque à volonté, qui ne doit point entrer dans la valeur de
en ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Développant les deux membres à la manière du binôme, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}1+nx(a-1)+{\frac {nx(nx-1)}{2}}(a-1)^{2}&+{\frac {nx(nx-1)(nx-2)}{2.3}}(a-1)^{3}+\ldots \\=1+n(y-1)+{\frac {n(n-1)}{2}}(y-1)^{2}&+{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}(y-1)^{3}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c42828c4666b2fea3d70472285d4c468c4b5f5)
savoir, en effaçant l’unité de part et d’autre et divisant par ![{\displaystyle n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bfafc701afdf14c2743278a097f6f2957eabb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&(a-1)+{\frac {x(nx-1)}{2}}(a-1)^{2}+{\frac {x(nx-1)(nx-2)}{2.3}}(a-1)^{3}+\ldots \\&=(y-1)+{\frac {(n-1)}{2}}(y-1)^{2}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2.3}}(y-1)^{3}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc448d91d4fac9900009f23db1f35cacf4fe8560)
Or,
étant, comme nous l’avons déjà dit, une quantité entièrement arbitraire et qui ne doit pas entrer dans l’expression de
en
il faudra que les termes multipliés par les différenties puissances de
se détruisent d’eux-mêmes, en sorte qu’il ne reste que ceux où
n’entrera pas. On aura ainsi, en ne tenant compte que des termes sans
l’équa-