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Nous savons que, si les équations

(1)

$\left\{{\begin{aligned}\varphi \left(x,y,y',\ldots ,y^{m}\right)=&\alpha ,\\\psi \left(x,y,y',\ldots ,y^{m}\right)=&\beta \end{aligned}}\right.$

sont deux intégrales premières d’une même équation différentielle, et que

(2)

$f\left(x,y,y',\ldots ,y^{m-1},\alpha ,\beta \right)=0$

en résulte par l’élimination de $y^{m},$ cette dernière équation sera une intégrale première de l’équation

(3)

$\operatorname {F} (\varphi ,\psi )=0,$

pourvu que l’on considère $\alpha$ et $\beta$ comme des constantes vérifiant l’équation

(4)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta )=0\,;$

en sorte que l’on obtiendra l’intégrale générale de l’équation (3) en cherchant celle de l’équation (2), dont l’ordre est inférieur d’une unité.

Considérons $\alpha$ et $\beta$ comme des coordonnées rectangulaires, de même que $x$ et $y,$ puis imaginons que l’on ait tracé la courbe représentée par l’équation (4), en même temps que celles qui sont représentées par l’intégrale générale de l’équation (3) ; chacune de ces dernières dépendra, en partie, de la position d’un point de la première courbe, de celui qui répond aux valeurs de $\alpha$ et $\beta$ relatives à la courbe que l’on considère pour abréger le discours, j’appellerai ce point point dinectcur, et courbe directrice l’ensemble des points directeurs, c’est-à-dire la courbe représentée par l’équation (4).

Pour tous les points d’une même courbe de l’intégrale générale (3), le point directeur est le même, et jouit, par rapport à chacun d’eux, d’une propriété commune définie analytiquement par les équations (1) ; d’où il suit clairement que les courbes susceptibles de satisfaire à l’équation (3) et qui ne font pas partie de l’intégrale générale jouissent de cette propriété remarquable que le point directeur n’est pas le même pour tous les points d’une même courbe, et que la propriété définie analytiquement par les équations a lieu entre les différents points d’une même courbe et leurs correspondants sur la courbe directrice.

Pour chacune de ces nouvelles courbes qui constituent une solution singulière de l’équation (3), l’équation (2) aura encore lieu entre les coordonnées $x,y$ de l’un de ses points et celles $\alpha$ et $\beta$ du point directeur correspondant ; mais, si l’on fait varier $x$ et $y,$ $\alpha$ et $\beta$ varieront aussi : on aura donc, en différentiant l’équation (2),

$\left({\frac {df}{dx}}+y'{\frac {df}{dy}}+\ldots +y^{m}{\frac {df}{dy^{m-1}}}\right)dx+{\frac {df}{d\alpha }}d\alpha +{\frac {df}{d\beta }}d\beta =0.$

Mais, si l’on observe que l’équation (2), dans laquelle on regarde $\alpha$ et $\beta$ comme constantes, est une intégrale première de l’une quelconque des équations (1), on verra que le coefficient de $dx$ dans l’équation précédente devient nul en vertu de ces mêmes équations (1) : on aura donc simplement

${\frac {df}{d\alpha }}d\alpha +{\frac {df}{d\beta }}d\beta =0.$