On a d’ailleurs
![{\displaystyle {\frac {d\operatorname {F} }{d\alpha }}d\alpha +{\frac {d\operatorname {F} }{d\beta }}d\beta =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a37e9fea0108707c2d736fcd9c3e6ccb1e3939c)
donc
(5)
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équation qui établit une relation entre chaque point de la courbe singulière et le point directeur correspondant.
Si des équations (4) et (5) on tire les valeurs de
et
pour les porter dans l’équation (2), ou, ce qui revient au même, si l’on élimine
et
à l’aide des équations (2), (4) et (5), on obtiendra une équation différentielle de l’ordre
![{\displaystyle \Pi \left(x,y,y',\ldots ,y^{m-1}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdbe58dfc4d8e470f91a3d12a84fabf0627fb8dd)
sans constante arbitraire, et qui sera une solution singulière de l’équation (3).
Bornons-nous à indiquer une seule application des résultats qui précèdent.
On demande quelle est la courbe jouissant de la propriété que, si
est un de ses points,
le centre de courbure en ce point, et
la position du point
auquel on fait faire un quart de révolution autour d’un point fixe, l’on ait
une constante
L’équation différentielle du second ordre est
![{\displaystyle \left[x-y-{\frac {y'\left(1+y'^{2}\right)}{y''}}\right]^{2}+\left(x+y+{\frac {1+y'^{2}}{y''}}\right)^{2}=\mathrm {K} ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17a85b1bfe2b2075f66050c72a386af3992cd60)
on trouve pour intégrale première
![{\displaystyle {\frac {(x-\alpha )-(y-\beta )}{(x-\alpha )+(y-\beta )}}+{\frac {dy}{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b5000917f42594ca4527a030c8d9146f090531)
avec
![{\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}={\frac {\mathrm {K} ^{2}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc2f94d3e6e7003dc342270b019b6f6c17e3a15c)
et pour solution singulière
![{\displaystyle (x-y)+(x+y){\frac {dy}{dx}}=\mathrm {K} {\sqrt {1+{\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4503075bebc4374015b7db6a02ec9a136215ac2)
l’intégrale générale représente ici des spirales logarithmiques, la solution singulière des courbes beaucoup plus compliquées.
V. On démontrerait absolument, comme au no I, que, si
![{\displaystyle \varphi =\alpha ,\quad \psi =\beta ,\quad \varpi =\gamma ,\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/928a75b07b8f51ca76cf28d319c58ce87ec2335b)
sont
intégrales premières d’une même équation différentielle et que
![{\displaystyle f=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee0fdf0f50fcba5afe3e856fcc7dc6acfa61014)