zéro, et réciproquement, lorsque cela arrivera, ce sera une marque que la valeur correspondante de
aura détruit dans
un radical sans le détruire dans
Pour avoir dans ce cas la valeur de
il ne suffira donc pas de s’\pirêter à l’équation prime de
laquelle, étant
![{\displaystyle y'\operatorname {F} '(y)+\operatorname {F} '(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421b658a62d3a2ce7352d3eec7a385f2093fa2f3)
aura lieu d’elle-même, indépendamment de la valeur de
mais il faudra passer à l’équation seconde, qu’on trouvera par les mêmes règles de cette forme
![{\displaystyle y''\operatorname {F} '(y)+y'^{2}\operatorname {F} ''(y)+2y'\operatorname {F} ''(y)(x)+\operatorname {F} ''(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff143b096ed978f9f4e449008789693c2e9ffe6)
en désignant par
et
les fonctions primes de
et
prises la première relativement à
seul et la seconde relativement à
seul, c’est-à-dire les fonctions secondes de
prises relativement aux mêmes variables isolées, et par
la fonction prime de
prise relativement à
ou la fonction prime de
prise relativement à
(ces deux fonctions étant la même chose, comme il est facile de s’en convaincre et comme nous le démontrerons plus bas, lorsque nous traiterons des fonctions de plusieurs variables), c’est-à dire la fonction seconde de
prise relativement à
et à
.
Cette équation donne généralement la valeur de
; mais, dans le cas proposé, la quantité
devenant nulle, le terme qui contient
disparaîtra et l’équation restante sera une équation du second degré en
par laquelle on déterminera la valeur de
qui sera par conséquent double.
26. Soit, par exemple,
![{\displaystyle f(x)=(x-a){\sqrt {x-b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914ea70193f0d4a78e34e90604084683125f93d7)
en sorte qu’on ait l’équation
![{\displaystyle y=(x-a){\sqrt {x-b}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f59cf50c97f8644f2b97d1c9bebf5065f82aaf)