on aura
![{\displaystyle f'(x)=y'={\sqrt {x-b}}+{\frac {x-a}{2{\sqrt {x-b}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abeacb5bdadd7c0a89c7fff483dfeda967ffb78c)
faisant
on a
![{\displaystyle y=0,\quad y'={\sqrt {x-b}}={\sqrt {a-b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f819ab3b8d83715ee17b47af6d496df55559310)
où l’on voit que le radical disparaît dans la valeur de
mais non pas dans celle de
en sorte que la valeur de
est simple et celle de
double.
Maintenant, si l’on réduit l’équation proposée à cette forme rationnelle
![{\displaystyle y^{2}=(x-a)^{2}(x-b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92846113c490fdf842995107df462bf811760ee0)
et qu’on en prenne l’équation prime, on aura
![{\displaystyle 2yy'=2(x-a)(x-b)+(x-a)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a32a4b2007ef1e9a22c1c9b74dadcbc757e660)
d’où l’on tire
![{\displaystyle y'={\frac {2(x-a)(x-b)+(x-a)^{2}}{2y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc2b9625d71df28cec7d5da75f893c9ea9945c77)
Faisant
on a
passant donc à l’équation seconde, on aura
![{\displaystyle 2y'^{2}+2yy''=4(x-a)+2(x-b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132f29b768b92b00a31ca57c81cd30143cbb772f)
Ici
donne, à cause de
dans ce cas,
![{\displaystyle 2y'^{2}=2(x-b)=2(a-b)\,;\quad {\text{donc}}\quad y'={\sqrt {a-b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db716e4b07158a68ffcf91bdad9da909c2c39263)
comme plus haut.
Il serait possible, au reste, que la même valeur de
qui détruit les termes de l’équation prime détruisît aussi ceux de l’équation seconde ; alors il faudrait passer à l’équation tierce, laquelle, par la destruction des termes qui contiendraient
et
deviendrait une simple équation en
mais du troisième degré, et ainsi de suite. Cela dépend de la nature du radical qui aura été détruit dans
et qui doit être remplacé par le degré de l’équation d’où dépend la valeur de
mais nous