Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/54

on aura

$f'(x)=y'={\sqrt {x-b}}+{\frac {x-a}{2{\sqrt {x-b}}}}\,;$

faisant $x=a,$ on a

$y=0,\quad y'={\sqrt {x-b}}={\sqrt {a-b}},$

où l’on voit que le radical disparaît dans la valeur de $y,$ mais non pas dans celle de $y',$ en sorte que la valeur de $y$ est simple et celle de $y'$ double.

Maintenant, si l’on réduit l’équation proposée à cette forme rationnelle

$y^{2}=(x-a)^{2}(x-b),$

et qu’on en prenne l’équation prime, on aura

$2yy'=2(x-a)(x-b)+(x-a)^{2},$

d’où l’on tire

$y'={\frac {2(x-a)(x-b)+(x-a)^{2}}{2y}}.$

Faisant $x=a,$ on a $y'={\frac {0}{0}}\,;$ passant donc à l’équation seconde, on aura

$2y'^{2}+2yy''=4(x-a)+2(x-b).$

Ici $x=a$ donne, à cause de $y=0$ dans ce cas,

$2y'^{2}=2(x-b)=2(a-b)\,;\quad {\text{donc}}\quad y'={\sqrt {a-b}},$

comme plus haut.

Il serait possible, au reste, que la même valeur de $x$ qui détruit les termes de l’équation prime détruisît aussi ceux de l’équation seconde ; alors il faudrait passer à l’équation tierce, laquelle, par la destruction des termes qui contiendraient $y''$ et $y''',$ deviendrait une simple équation en $y',$ mais du troisième degré, et ainsi de suite. Cela dépend de la nature du radical qui aura été détruit dans $f(x)$ et qui doit être remplacé par le degré de l’équation d’où dépend la valeur de $y'\,;$ mais nous