n’entrerons dans aucun détail sur ce point pour ne pas trop nous écarter de notre sujet.
27. Supposons en second lieu que la même valeur de
qui fait disparaître un radical dans
le fasse disparaître aussi dans
sans le faire disparaître néanmoins dans
alors les valeurs correspondantes de
et de
seront en même nombre, mais celles de
seront en nombre plus grand. Si donc on détruit ce radical dans l’équation
la valeur de
qu’on en déduira se trouvera égale à
et il faudra passer aux équations dérivées d’un ordre supérieur pour avoir la valeur de
Soit
![{\displaystyle y=(x-a)^{2}{\sqrt {x-b}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd07bfd3cf0fbe86e00b9826c981e7fa8f7d7273)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}y'\ =&(x-a){\sqrt {x-b}}+{\frac {(x-a)^{2}}{2{\sqrt {x-b}}}},\\y''=&2{\sqrt {x-b}}+{\frac {2(x-a)}{\sqrt {x-b}}}-{\frac {(x-a)^{2}}{4(x-b)^{\frac {3}{2}}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2a106b19d36a086054d5f1337124bfcdc5f085)
faisant
on a
![{\displaystyle y=0,\quad y'=0\quad {\text{et}}\quad y''=2{\sqrt {x-b}}=2{\sqrt {a-b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb7b597b20831a420a657db868243d741791559)
Mais, si l’on réduit l’équation proposée à cette forme rationnelle
![{\displaystyle y^{2}=(x-a)^{4}(x-b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea149dc81a30644643275a32b1974fb2f1990dda)
on en tirera l’équation prime
![{\displaystyle 2yy'=4(x-a)^{3}(x-b)+(x-a)^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de42f733ac4931e4e282540cfd379dfc7c8485b)
laquelle donne, lorsque ![{\displaystyle x=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd9ee1cb067c03634dd0eb7806a1fd412d3b887)
![{\displaystyle y'={\frac {0}{0}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6fcf66275cd1acb3cc91bcb3e58ce2a5d97525)
à cause de
à moins qu’en substituant la valeur de
on ne divise le tout par
et qu’ensuite on ne fasse
ce qui donnera ![{\displaystyle y'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/321c981ecf66f684fcd33cfad17c37846aa1aaca)