et la fonction
deviendra, en remettant
à la place de
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(x-i)+ip,\\&=f(x-i)+if'(x-i)+i^{2}q,\\&=f(x-i)+if'(x-i)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x-i)+i^{3}r,\\&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33806e0728df6ca52d6f5813fcee118319192129)
Ainsi, connaissant le premier reste
on pourra connaître tous les autres restes
par les simples fonctions dérivées relatives à
et, si l’on prend simplement les fonctions dérivées relativement à
on aura
![{\displaystyle q=-p',\quad r=-{\frac {q'}{2}},\quad s=-{\frac {r'}{3}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a249215128884fbd9fae65ef297c86720310668c)
Par exemple, en faisant
comme dans le no 4, on aura
![{\displaystyle f(x-i)={\frac {1}{x-i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7efdcd90b18ee9f6266cc1124b6fb28b3418c199)
et, prenant les fonctions dérivées par rapport à
on aura
![{\displaystyle f'(x-i)=-{\frac {1}{(x-i)^{2}}},\quad f''(x-i)={\frac {2}{(x-i)^{3}}},\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968e07cc90df8f1bece7c319a17f87bab7049ac5)
or on trouve
![{\displaystyle p={\frac {f(x)-f(x-i)}{i}}=-{\frac {1}{x(x-i)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6abf22a53f447b001798621b95867c26072c6fd1)
de là, en prenant les fonctions dérivées par rapport à
on tirera tout de suite
![{\displaystyle q=-p'={\frac {1}{x(x-i)^{2}}},\quad r=-{\frac {q'}{2}}=-{\frac {1}{x(x-i)^{3}}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61cc3e117cf9b4b788ba523f113a339c432e3494)
Donc, si l’on fait ces substitutions dans les expressions de
et qu’on y mette ensuite
à la place de
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{x+i}}={\frac {1}{x}}-{\frac {i}{x(x+i)}}={\frac {1}{x}}-{\frac {i}{x^{2}}}+{\frac {i^{2}}{x^{2}(x+i)}}=\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b56918925482c4c9e62f6138dd5bb2834e4f08)
comme dans le numéro cité.