(nos 3, 8) ; il est évident que, si
est une quantité positive, la valeur de
sera nécessairement positive depuis
jusqu’à une certaine valeur de
qu’on pourra prendre aussi petite qu’on voudra. Donc, lorsque la valeur de la fonction prime
est positive, on pourra toujours prendre pour
une quantité positive et assez petite pour que la quantité
soit nécessairement positive.
Mettons successivement à la place de
les quantités
![{\displaystyle a,\quad a+i,\quad a+2i,\quad a+3i,\quad \ldots ,\quad a+ni\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b60a99d2506c08c3fa3b3ff5548cd3fc4f4b06d)
il en résultera que l’on peut prendre
positif et assez petit pour que toutes les quantités
![{\displaystyle f(a+i)-f(a),\quad f(a+2i)-f(a+i),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ed5f6aaef4254796e3e5a00bc363d7642375e0)
![{\displaystyle f(a+3i)-f(a+2i),\quad \ldots ,\quad f(\left[a+(n+1)i\right]-f(a+ni)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63ce96f1684f97ec3f1866c58b23715a0162e4c)
soient nécessairement positives si les quantités
![{\displaystyle f'(a),\quad f'(a+i),\quad f'(a+2i),\quad \ldots ,\quad f'(a+ni)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e34c0bb0d43dd9bf6ffd821bbc895ad22027a760)
le sont. Donc aussi, dans ce cas, la somme des premières quantités, c’est-à-dire la quantité
sera positive.
Faisons maintenant
on aura
![{\displaystyle i={\frac {b-a}{n+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bcd2f87a997fa610f8e386fc4b0a9fe2016b925)
et l’on en conclura que la quantité
sera nécessairement positive si toutes les quantités
![{\displaystyle f'(a),\quad f'\left(a+{\frac {b-a}{n+1}}\right),\quad f'\left(a+{\frac {2(b-a)}{n+1}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae45f9e79bacaa59e6b2670c84e6ead689f52e6a)
![{\displaystyle f'\left(a+{\frac {3(b-a)}{n+1}}\right),\quad \ldots ,\quad f'\left(a+{\frac {n(b-a)}{n+1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0c5b14a9784a5a672e15fb3ec0fb3845f68bc5)
sont positives, en prenant
aussi grand qu’on voudra.
Donc, à plus forte raison, la quantité
sera positive, si
est toujours une quantité positive, en donnant à
toutes les