valeurs possibles, depuis
jusqu’à
puisque parmi ces valeurs se trouveront nécessairement les valeurs
![{\displaystyle a,\quad a+{\frac {b-a}{n+1}},\quad a+{\frac {2(b-a)}{n+1}},\quad \ldots ,\quad a+{\frac {n(b-a)}{n+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25c96a4f9935af371c98d20ca19197ef2362057)
en prenant
aussi grand qu’on voudra.
39. À l’aide de ce lemme, on peut trouver des limites en plus et en moins de toute fonction primitive dont on connaît la fonction prime.
Soit la fonction primitive
dont la fonction prime
soit exprimée par
étant une fonction donnée de
Soient
la plus grande et
la plus petite valeur de
pour toutes les valeurs de
comprises entre les quantités
et
en regardant comme plus grandes les négatives moindres et comme moindres les négatives plus grandes, ce qui est conforme à la marche du calcul, puisque, par exemple,
et de même
et ainsi des autres. Donc les quantités
et
seront toujours positives depuis
jusqu’à
et il en sera de même des quantités
et
Donc : 1o si l’on fait
on aura, par le lemme précédent,
![{\displaystyle f(b)-f(a)>0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31185a159948f4c8c47d5f05cd1e17b61b9f2499)
or,
étant
sa fonction primitive sera
et, comme
est une quantité constante, la fonction primitive de
est
donc on aura
![{\displaystyle f(z)={\frac {\mathrm {M} z^{m+1}}{m+1}}-\operatorname {F} (z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f48f8a6f63aa5ed2347ffa2517cf9140cbe256)
et, faisant successivement
et
l’équation
![{\displaystyle f(b)-f(a)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f1d4ca1521deed2173bcb2eb229f6b3596977a)
donnera
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} b^{m+1}}{m+1}}-\operatorname {F} (b)-{\frac {\mathrm {M} a^{m+1}}{m+1}}+\operatorname {F} (a)>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a339d8344d9e25b943b4f7c1bfee8ef89015ee1)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \operatorname {F} (b)<\operatorname {F} (a)+{\frac {\mathrm {M} \left(b^{m+1}-a^{m+1}\right)}{m+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14970f460a73967852a5c9107331a3c8d510bfd1)