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CHAPITRE VIII.

Où l’on examine les cas simples dans lesquels on peut passer des fonctions ou des équations dérivées du premier ordre aux fonctions ou aux équations primitives. Des équations linéaires des différents ordres, et de celles qu’on peut rendre linéaires.

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49. Une équation du premier ordre en $x,y$ et $y'$ étant donnée, si l’on peut, par des opérations quelconques, la ramener à la forme

$f(x,y)'=0,$

où $f(x,y)'$ désigne la fonction prime d’une fonction de $x,y$ marquée par $f(x,y),$ on aura sur-le-champ l’équation primitive

$f(x,y)=a,$

dans laquelle $a$ sera la constante arbitraire.

Par exemple, l’équation $y'=0$ donne sur-le-champ $y=a\,;$ l’équation $xy'-y=0,$ étant divisée par $x^{2},$ se réduit à $\left({\frac {y}{x}}\right)'=0\,;$ j’entends par $\left({\frac {y}{x}}\right)'$ la fonction prime de la quantité ${\frac {y}{x}}$ renfermée entre les deux parenthèses d’où l’on tire ${\frac {y}{x}}=a,$ ou bien, en divisant la même équation par $xy,$ elle devient

${\frac {y'}{y}}-{\frac {1}{x}}=0,$

dans laquelle les variables $x,y$ ne sont plus mêlées. Prenant donc la fonction primitive de chaque terme, on aura

$\operatorname {l} y-\operatorname {l} x=\operatorname {l} a,$