la caractéristique
indiquant les logarithmes hyperboliques, d’où l’on tire
comme plus haut.
En général, si l’on peut réduire l’équation à la forme
![{\displaystyle f(x)+y'\operatorname {F} (y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10fa233c78194b074899673c523447ceff84bf5b)
où les variables sont séparées, il n’y aura qu’à prendre les fonctions primitives de
et de
et faire la somme égale à une constante arbitraire
et la même chose aura lieu si l’on peut ramener la proposée à cette forme par une substitution quelconque.
Soit, par exemple, une équation de la forme
![{\displaystyle y'=f\left({\frac {y}{x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe2a766241282872919698b19cd7657f396b0cf)
Je fais
donc
et l’éguation devient, par ces substitutions,
![{\displaystyle xu'+u=f(u),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b607e2a08233d7c9449122b16bf66067f9b7e5)
laquelle peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {u'}{u-f(u)}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf522f4e301159357fd2537545b0719a14822175)
qui est comprise dans la précédente.
Si l’on avait l’équation
![{\displaystyle y=xf(y'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c96bca4291a4d4b5dd88c2776022e045a40874)
au lieu de la réduire à la forme précédente, j’en prendrais les fonctions primes, ce qui me donnerait
![{\displaystyle y'=xy''f'(y')+f(y'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff272bd885010b03908062cc0a45710c449a7f5b)
équation réductible à la forme
![{\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {y''f'(y')}{f(y')-y'}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18afafe35e915c9d34c9b4814097c780a1e0c9ef)
et qui, en faisant
rentre encore dans le cas précédent. Ayant trouvé ainsi une équation primitive entre
et
avec une constante arbitraire, c’est-à-dire entre
et
on chassera
par le moyen de la