tion proposée, c’est-à-dire à l’indice de la fonction dérivée
la plus élevée, on aura l’expression complète de
L’analyse du no 44 fournit un exemple de cette méthode.
Mais il y a plus on peut alors trouver aussi la valeur complète de
qui satisfera à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} y+\mathrm {B} y'+\mathrm {C} y''+\ldots =\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828b1959f81b88b1ce5d50ba22ca2012204036e6)
étant aussi une fonction quelconque de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Comme cette méthode est une des plus utiles dans ce genre d’analyse, je crois devoir l’exposer ici en peu de mots.
54. Supposons que l’équation proposée soit du troisième ordre ; on verra aisément que la méthode est générale pour un ordre quelconque. Soit donc l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} y+\mathrm {B} y'+\mathrm {C} y''+y'''=\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/740dd79bff32a082159ee5c2a146ada2703a80ba)
et soient
trois valeurs différentes et particulières de
et
qui satisfassent à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} y+\mathrm {B} y'+\mathrm {C} y''+y'''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f57874198ecf80290db1d805f520f2398c3cd25)
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {A} p+\mathrm {B} p'+\mathrm {C} p''+p'''=0,\\&\mathrm {A} q+\mathrm {B} q'+\mathrm {C} q''\,+q'''=0,\\&\mathrm {A} r+\mathrm {B} r'\,+\mathrm {C} r''\,+r'''=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6306f9b512bb202b7419d8843538e4c5a6560806)
Supposons
et regardons
comme trois fonctions inconnues de
qu’il s’agira de déterminer ; en prenant les fonctions primes, secondes et tierces de
on aura d’abord
![{\displaystyle y'=ap'+bq'+cr'+pa'+qb'+rc'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e30c210df0a499337862294f4b4d7719d9754cb)
Je suppose
j’aurai simplement
![{\displaystyle y'=ap'+bq'+cr'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af9de87497cb130f9879a2816f7b9e905498310)
De là, en prenant de nouveau les fonctions primes, j’aurai
![{\displaystyle y''=ap''+bq''+cr''+a'p'+b'q'+c'r'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d5bdad8f0e1db1965c9ea3378db2ebb4a56fda6)