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situés sur les prolongements de AB et de ΓB ; de sorte que ΓEΔ et EΛA soient des angles droits.

Désignant BΓ par b, BE par y, BΔ par z, BA par a, on aura en effet $b:y=y:z=z:a$ ; donc on aura construit l’équation

2) $y^{3}=a.b^{2}$.

Mais évidemment cette construction revient à ceci : de construire la courbe lieu géométrique des pieds de toutes les perpendiculaires abaissées du point Γ sur toutes les tangentes de la parabole dont A est le foyer et BΓ la tangente au sommet ; puis de couper cette courbe par le prolongement de la droite AB.

Cette courbe est donc la même que celle dont nous venons de parler. Prenant le point Γ pour origine des coordonnées, ce sera la courbe

II) $y^{3}+x^{2}y-bxy-ax^{2}=0$

qui, combinée avec la droite $x=h$, produit $y^{2}=ab^{2}$. En échangeant les directions positive et négative des y, les équations I) et II) deviennent identiques lorsque les paramètres $(b+c)$ et $b$ sont les mêmes.

Le géomètre arabe s’est donc ingénieusement servi pour la construction de l’équation 1) des moyens imaginés par Platon pour celle de l’équation 2).

On a dit que la construction d’une équation cubique à l’aide d’une courbe du troisième degré renfermait une pétition de principe, en ce que la succession des points de ces courbes ne saurait être trouvée que par la résolution d’une équation cubique. Cette objection s’évanouit cependant à l’égard des courbes qu’on peut décrire à l’aide d’un instrument par un mouvement continu, et l’on peut dire en quelque sorte que c’est ce que virtuellement Platon du moins a fait. Rien n’est