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Alqoûhî distingue ces cas suivant les différentes valeurs que peut prendre le rapport ${\frac {C'}{C}}$, à savoir :

${\frac {C'}{C}}{\frac {<}{=}}{\frac {\sqrt {2}}{1}}$, ${\frac {\sqrt {2}}{1}}<{\frac {C'}{C}}<{\frac {2}{1}}$, ${\tfrac {C'}{C}}{\tfrac {2}{1}}{\tfrac {2}{1}}$ ;

ce qui équivaut à

$b'{\frac {<}{=}}18a'^{2}$, $18a'^{2}<b'<36a'^{2}$, $b'{\tfrac {=}{>}}36a'^{2}$.

Il démontre d’abord d’une manière rigoureuse, par la considération de la tangente commune, qu’au cas du contact des deux coniques on a ${\frac {C'}{C}}={\frac {\sqrt {2}}{1}}$ ; ensuite qu’on a généralement ${\frac {C'}{C}}^{3}={\frac {(2r)^{2}}{Delta(3r-Delta)^{2}}}$, et que le dénominateur de cette dernière expression devenant un maximum au cas du contact, puisque alors $\Delta =r$, la valeur \tfrac{\sqrt{2}}{1} correspondant au cas du contact sera la valeur minimum du rapport ${\frac {C'}{C}}$, et la limite qu’il ne peut pas surpasser en petitesse.

Il démontre ensuite, d’une manière non moins rigoureuse et non moins purement géométrique, que tant que Δ > r, on aura ${\frac {C'}{C}}<{\frac {2r}{r}}$ ; d’où il suit que le segment qu’il s’agit de construire doit être plus grand que l’hémisphère, le rapport donné ${\frac {C'}{C}}$ a pour limite supérieure ${\frac {2}{1}}$.

L’auteur constate encore que lorsque le segment est plus petit que l’hémisphère, le rapport ${\frac {C'}{C}}$ n’a pas de limite supérieure, et que de ce qui précède il suit qμ’aux valeurs de ${\frac {C'}{C}}$