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comprises entre ${\tfrac {\sqrt {2}}{1}}$ et ${\tfrac {2}{1}}$ peuvent correspondre des segments dans les deux moitiés de la sphère.

Mais le passage qui se rapporte à cette discussion me semble trop important pour que je puisse, malgré sa longueur, me dispenser d’en donner la traduction textuelle.

Après avoir terminé l’analyse (*^[1]) du problème, l’auteur s’exprime ainsi :

« Et nous disons : Le rapport du cône de la surface au cône du segment (**^[2]) ne peut pas être un rapport quelconque, mais il existe nécessairement pour lui une limite de petitesse qu’il ne surpassera pas, et qui correspond au contact des deux sections coniques en M (fig. 36). Menons (en ce cas) la droite OML touchant les deux sections coniques et passant par leur point de contact. A cause de l’hyperbole on aura OM égale à ML, comme c’est démontré dans la troisième proposition du deuxième livre du traité des Sections Coniques (***^[3]) ; donc, parce que DM et BO sont parallèles, LD sera égale à DB, c’est-à-dire au diamètre de la sphère. Et parce que ML est tangente à la parabole, LK sera égale à KD, en vertu de ce qui est démontré dans la trente-troisième proposition du premier livre du même traité (****^[4]) ; conséquemment DK sera égale au rayon de la sphère, et le point K coïncidera avec le point E (*****^[5]). Mais on vient d’expliquer ci-dessus que le rapport du cône de la surface au cône du segment est égal au rapport du rectangle

1. *) Dans l’acception ancienne de ce mot.
2. **) C’est ainsi que l’auteur nomme les deux cônes dont nous avons désigné les volumes par C’et C respectivement.
3. ***) Apollon., éd. d’Oxf., page 108.
4. ****) Apollon., éd. d’Oxf., page 59.
5. *****) On avait déterminé le point E en prenant sur le prolongement du diamètre BD, à partir du point D, un segment DE égal au rayon.