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segment sera égal au rapport du cube de BD au solide AB en ZE en BD : en même temps, donnant aux rectangles AB en BD, et BZ en ZE, la hauteur commune ZK, on aura le rapport du cône de la surface au cône du segment égal au solide AB en BD en ZB au solide ligne BZ en carré de EZ ; donc, ex œquo, le rapport du cube de BD au solide ligne BZ en carré de ZE, égal au rapport du oône de la surface au cône du segment multiplié en lui-même (*^[1]). Mais le solide ligne BZ en carré de ZE est un maximum lorsque BZ est la moitié de ZE, comme il est démontré dans ce que nous avons rapporté (**^[2]) suivant Eutocius, à l’aide des sections coniques ; cependant noua en donnerons plus tard une démonstration indépendante des sections coniques. Le rapport du cube de BD au solide ligne BZ en carré de ZE est donc un minimum lorsque BZ est égale au rayon de la sphère ; et si le cône de la surface est considéré comme invariable, le segment sera un maximum en ce cas. »

« Relativement à la grandeur, le rapport dont il s’agit n’aura pas de limite lorsque le segment est plus petit que la moitié de la sphère. »

« Lorsque, au contraire, le segment est plus grand que la moitié de la sphère (***^[3]), ce rapport ne peut pas être plus grand

↑ *) Voici le raisonnement de l’auteur :
${\tfrac {C'}{C}}={\tfrac {AB}{BZ}}.{\tfrac {BD}{ZE}}={\tfrac {DB}{AB}}.{\tfrac {BD}{ZE}}={\tfrac {{\overline {\text{BD}}}^{2}}{AB.ZE.BD}}$
et en même temps ${\tfrac {C'}{C}}={\tfrac {AB.BD.ZE}{BZ.{\overline {\text{ZE}}}^{2}}}$ , donc $({\tfrac {C'}{C}})^{2}={\tfrac {{\overline {\text{BD}}}^{2}}{BZ.{\overline {\text{ZE}}}^{2}}}$
↑ **) Je rappelle que ce morceau faisait partie d’une édition arabe du traité de la sphère et du cylindre, en sorte qu’il avait été précédé de la cinquième proposition du second livre, et du commentaire d’Eutocius qui s’y rapporte. Voir la démonstration donnée par Eutocius, éd. d’Oxf., page 166, ligne 25 du texte grec, sqq.
↑ ***) Supposant BZ > Γ, on aura $AB.BD<{\overline {\text{BD}}}^{2}$ ; donc 1) ${\tfrac {AB.BD}{BZ.ZE}}<{\tfrac {{\overline {\text{BD}}}^{2}}{BZ.ZE}}$ ; en même temps $BZ.ZE>BD.DE$ , donc 2) ${\tfrac {{\overline {\text{BD}}}^{2}}{BZ.ZE}}<{\tfrac {{\overline {\text{BD}}}^{2}}{BD.DE}}={\tfrac {BD}{DE}}$ ; de 1) et 2) il suit ${\tfrac {C'}{C}}<{\tfrac {BD}{DE}}={\tfrac {2}{1}}$

[1] *) Voici le raisonnement de l’auteur :
${\tfrac {C'}{C}}={\tfrac {AB}{BZ}}.{\tfrac {BD}{ZE}}={\tfrac {DB}{AB}}.{\tfrac {BD}{ZE}}={\tfrac {{\overline {\text{BD}}}^{2}}{AB.ZE.BD}}$
et en même temps ${\tfrac {C'}{C}}={\tfrac {AB.BD.ZE}{BZ.{\overline {\text{ZE}}}^{2}}}$ , donc $({\tfrac {C'}{C}})^{2}={\tfrac {{\overline {\text{BD}}}^{2}}{BZ.{\overline {\text{ZE}}}^{2}}}$

[2] **) Je rappelle que ce morceau faisait partie d’une édition arabe du traité de la sphère et du cylindre, en sorte qu’il avait été précédé de la cinquième proposition du second livre, et du commentaire d’Eutocius qui s’y rapporte. Voir la démonstration donnée par Eutocius, éd. d’Oxf., page 166, ligne 25 du texte grec, sqq.

[3] ***) Supposant BZ > Γ, on aura $AB.BD<{\overline {\text{BD}}}^{2}$ ; donc 1) ${\tfrac {AB.BD}{BZ.ZE}}<{\tfrac {{\overline {\text{BD}}}^{2}}{BZ.ZE}}$ ; en même temps $BZ.ZE>BD.DE$ , donc 2) ${\tfrac {{\overline {\text{BD}}}^{2}}{BZ.ZE}}<{\tfrac {{\overline {\text{BD}}}^{2}}{BD.DE}}={\tfrac {BD}{DE}}$ ; de 1) et 2) il suit ${\tfrac {C'}{C}}<{\tfrac {BD}{DE}}={\tfrac {2}{1}}$

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