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AB en BK au rectangle BZ en BE (*^[1]), c’est-à-dire BZ en BK, qui est égal au rapport de AB à BZ. Le rapport de ces cônes étant égal aussi au rapport de AB à S (**^[2]), on aura BZ, c’est-à-dire DM égale à S ; et le rectangle S en DK étant égal au carré de DM (***^[3]), DK sera égale à DM, c’est-à-dire à BZ ; d’où il suit que BZ et pareillement AZ seront égales au rayon de la sphère. Le rapport du cône de la surface au cône du segment, qui est égal au rapport de AB à BZ, sera donc en ce cas égal au rapport qui multiplié en lui-même produit le rapport de deux à un, parce que le rapport de AB à BZ multiplié en lui-même est égal au rapport de DB à BZ. Ce rapport, qui multiplié en lui-même est égal au rapport de deux à un, est le ràpport de deux à sa racine, ou le rapport de la racine de deux à l’unité. Le rapport dont il s’agit (****^[4]) ne peut donc pas être plus petit que cela ; car le rapport du rectangle AB en BD au rectangle BZ en ZE, qui est égal au rapport du cône de la surface au cône du segment (****^[5]), est composé du rapport de AB à BZ, c’est-à-dire du rapport de DB à BA, et du rapport de BD à ZE ; de sorte qu’il est égal au rapport du carré de BD au rectangle AB en ZE. Prenant BD comme hauteur commune, le rapport du cône de la surface au cône du

↑ *) ${\tfrac {C'}{C}}={\tfrac {AB.BK}{BZ.BE}}$ ; on vérifie cela aisément au moyen des relations proposées ci-dessus, page 106.
↑ **) Voyez page 106, ligne 14, et la première note de la même page.
↑ ***) A cause de la parabole ; voir page 106, lig. 16.
↑ ****) ${\tfrac {C'}{C}}$ .
↑ *****) Dans ce qui précède, l’auteur avait obtenu cette relation de la manière suivante. En prenant un segment TZ tel que $TZ:BZ=(DE+DZ):DZ$ , il avait (voir Archim., Sph. et Cyl. ii, 3, éd. d’Oxf., page 150) $C={\tfrac {\pi }{3}}TZ.{\overline {\text{AZ}}}^{2}$ ; d’un autre c4té, il avait $C'={\tfrac {\pi }{3}}TZ.{\overline {\text{AB}}}^{2}$ . Mais ${\overline {\text{AB}}}^{2}:{\overline {\text{AZ}}}^{2}={\overline {\text{DB}}}^{2}:{\overline {\text{DA}}}^{2}=DB:DZ$ , donc ${\tfrac {C'}{C}}={\tfrac {AB.DB}{TZ.DZ}}$ ; et puisqu’il avait fait $TZ.DZ=BZ.ZE$ , il suit : ${\tfrac {C'}{C}}={\tfrac {AB.DB}{BZ.ZE}}$ ; c. q. f. d.

[1] *) ${\tfrac {C'}{C}}={\tfrac {AB.BK}{BZ.BE}}$ ; on vérifie cela aisément au moyen des relations proposées ci-dessus, page 106.

[2] **) Voyez page 106, ligne 14, et la première note de la même page.

[3] ***) A cause de la parabole ; voir page 106, lig. 16.

[4] ****) ${\tfrac {C'}{C}}$ .

[5] *****) Dans ce qui précède, l’auteur avait obtenu cette relation de la manière suivante. En prenant un segment TZ tel que $TZ:BZ=(DE+DZ):DZ$ , il avait (voir Archim., Sph. et Cyl. ii, 3, éd. d’Oxf., page 150) $C={\tfrac {\pi }{3}}TZ.{\overline {\text{AZ}}}^{2}$ ; d’un autre c4té, il avait $C'={\tfrac {\pi }{3}}TZ.{\overline {\text{AB}}}^{2}$ . Mais ${\overline {\text{AB}}}^{2}:{\overline {\text{AZ}}}^{2}={\overline {\text{DB}}}^{2}:{\overline {\text{DA}}}^{2}=DB:DZ$ , donc ${\tfrac {C'}{C}}={\tfrac {AB.DB}{TZ.DZ}}$ ; et puisqu’il avait fait $TZ.DZ=BZ.ZE$ , il suit : ${\tfrac {C'}{C}}={\tfrac {AB.DB}{BZ.ZE}}$ ; c. q. f. d.

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