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nombres ; » (enfin, ce pluriel « nombres » lui-même est employé dans les énoncés des équations n° 18 à 25 (*^[1]), pour désigner le terme connu de l’équation cubique.

Il résulte donc que le géomètre arabe, en parlant de la résolution numérique d’une équation, entend qu’il s’agit de satisfaire à cette équation par un nombre entier. Et ce qui détruira les derniers doutes qui pourraient subsister à cet égard, ce sont les conditions qu’il énonce pour la solubilité arithmétique des équations du second degré (p. 17), Ces conditions dépassent même le but qu’elles doivent atteindre, ainsi que je l’ai fait observer à l’endroit indiqué. Mais il est facile de remonter à la source de cette erreur.

Les mêmes conditions, ou du moins la plus essentielle des deux, à savoir la seconde, se trouvent nombre de fois chez Diophante, et il est impossible de méconnaître ici l’influence de cet auteur. Il y a seulement cette différence que chez Diophante cette condition est justifiée par la nature des problèmes qu’il se propose, tandis que chez Alkhayyâmi, elle établit des limites trop étroites. Je ne citerai, à l’appui de ce que je viens d’avancer, qu’un seul problème de Diophante, entre beaucoup qui me fourniraient les mêmes preuves.

Dana le 6^e problème du VI^e livre, Diophante se propose de trouver un triangle rectangle en nombres rationnels, de manière que la surface du triangle, plus une des cathètes, soit égale à un nombre donné. Désignant les deux cathètes par ax et bx respectivement, le nombre donné par k, et posant $\textstyle {\tfrac {ab}{2}}=c$, on aura

(1) $cx^{2}+ax'=A.$

donc

(2) $cx=-$$\textstyle {\tfrac {a}{2}}$ + $\textstyle {\sqrt[{}]{\tfrac {a}{2}}}2+ck$

Arrivé là, Diophante énonce sa condition de la manière suivante : καί δεί τών άριθμών τώ ήμίσει έφ 2 έαυτό προσθείναι τάζ δυνάμειζ έπτάκιζ (**^[2]) γενομέναζ καί πολείν τετράγωνον. C’est-à-dire qu’il faut qu’on ait

(3) ($\textstyle {\tfrac {a}{2}})^{2}+ck=y^{2}$ ;

en posant $a=1$, l’équation (2) se transforme dans : $bx=-1+$ $\textstyle {\sqrt[{}]{1+2bk}}$, et il s’agit de satisfaire simultanément aux deux équations indéterminées

$1+2kx=y,1+z=t$.

On voit aisément que la condition (3) est véritablement nécessaire, puis-

1. *) voir pages 44, 46, 47, 49, 57, 62, 65.
2. **) Diophante avait pris $k=7$.