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Le système II est employé pour les équations 16 à 18, lorsqu’on fait

16.	$\textstyle m={\sqrt[{3}]{a}}$	x = - 1	λ = 1
17.	$\textstyle m={\sqrt[{3}]{a}}$	x = + 1	λ = - 1
18.	$\textstyle m=c$	x = - 1	λ = + 1

Enfin le système III correspond aux équations 19 à 25, lorsqu’aux quantités κ, λ, μ, ν, ξ, φ, on donne les valeurs suivantes :

	19.	20.	21.	22.	23.	24.	25.
κ	+ 1	- 1	+ 1	- 1	- 1	+ 1	- 1
λ	- 1	+ 1	+ 1	- 1	- 1	- 1	+ 1
μ	- 1	- 1	- 1	- 1	+ 1	+ 1	+ 1
ν	- 1	+ 1	- 1	+ 1	- 1	+ 1	- 1
ξ	+ 1	- 1	- 1	- 1	- 1	- 1	- 1
φ	- 1	+ 1	- 1	- 1	- 1	+ 1	+ 1

En divisant l’équation du quatrième degré qui résulte du système III par ( x ± —i), on la ramène à l’équation cubique proposée

puisque | x2 + ρcx2 + σbx + τa | · | x + τ/σ · a/b =
= x2 + | ρc + τ/σ . a/b | x2 + |σb + ρτ/σ . ac/b | x2 + 2τax + τ2/σ . a2/b =
= x2 + | στ a/b + ρc | x2 + σ | b + ρτ ac/b | x2 + 2τax + σ a2/b2

où les valeurs à donner aux quantités p, a, T sont les suivantes :

	19.	20.	21.	22.	23.	24.	25.
ρ	+ 1	+ 1	- 1	- 1	+ 1	- 1	- 1
σ	+ 1	- 1	+ 1	- 1	- 1	+ 1	- 1
τ	- 1	+ 1	+ 1	- 1	- 1	- 1	+ 1

Alkhayyâmi n’a pas remarqué que, dans l’équation générale du troisième degré, on peut toujours faire disparaître le second terme, ce qui lui aurait épargné l’emploi des systèmes II et III (*^[1]).

Après avoir esquissé cet exposé général des constructions d’Alkhayyâmî, examinons encore quelques détails de sa méthode.

Observons d’abord qu’Alkhayyâmi, pas plus que Mohammed Ben Moûçâ, ne tient aucun compte des racines négatives, ni, à plus forte raison, des racines imaginaires ; dès qu’un problème n’admet pas des racines réelles et positives, il le déclare « impossible. » Aussi ne trouve-t-on pas dans le tableau des équations d’Alkhayyâmi, complet à cela près, ces formes, où la somme de tous les termes, formant le premier membre, est égalée à

1. *) Dans une notice sur l’algèbre d’Alkbayyâmi, insérée au tome XL du Journal de M. Grelle, j’ai montré (au § 3 de cette notice) comment on est très-naturellement conduit à ces trois systèmes du géomètre arabe, en partant des principes analytiques de la construction des équation& du troisième degré.