Page:L’Algèbre d’Omar Alkhayyami.djvu/39

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

- 8 -

raison les degrés supérieurs (*^[1]). Et si l’on dit que le carré-carré fait partie des grandeurs mesurables, cela se dit par rapport à sa valeur réciproque employée dans les problèmes de mesure (**^[2]), et non pas parce que les quantités carré-carrées elles-mêmes soient mesurables, ce qui constitue une différence. Le carré-carré ne fait donc partie des grandeurs mesurables ni essentiellement ni accidentellement ; et on ne peut le comparer au pair et à l’impair qui en font partie accidentellement, par rapport au nombre au moyen duquel la continuité des grandeurs mesurables est représentée comme discontinue.

Ce qu’on trouve dans les ouvrages des algébristes, relativement à ces quatre quantités géométriques, entre lesquelles se forment les équations, à savoir : nombres absolus, côtés, carrés et cubes, ce sont trois équations renfermant le nombre, des côtés et des carrés (***^[3]). Nous allons, au contraire, proposer des méthodes au moyen desquelles on pourra déterminer l’inconnue dans l’équation renfermant les quatre degrés dont nous venons de dire que ce sont eux exclusivement qui peuvent faire partie des grandeurs mesurables, à savoir : le nombre, la chose, le carré et le cube.

Les espèces d’équations dont la démonstration (****^[4]) dépend des propriétés du cercle, c’est-à-dire des deux ouvrages d’Euclide sur les Éléments et sur les Données, se démontrent bien facilement. Pour celles qu’on ne peut démontrer qu’à l’aide

↑ *) Il suffit de rappeler que c’est Descartes qui a répondu victorieusement à cette argumentation universellement adoptée avant lui.
↑ **) Il est facile d’imaginer un semblable problème. Supposons, par exemple, qu’il soit question d’une sphère dont le volume soit à l’unité de volume comme une ligne donnée a à son rayon ; en désignant ce rayon par $r,$ on aura ${\frac {a}{r^{4}}}={\frac {4\pi }{3}}.$
↑ ***) $x^{2}+bx=a,\;x^{2}+a=bx,\;x^{2}=a+bx.$ L’auteur, voulant parler ici du progrès qu’il a fait faire à l’algèbre, fait abstraction en cet endroit des trois formes $a=x,\;a=x^{2},\;bx=x^{2},$ qui se trouvaient aussi dans les ouvrages de ses prédécesseurs, comme de problèmes tout à fait inférieurs.
↑ ****) C’est-à-dire la démonstration des procédés qui constituent leur résolution.

[1] *) Il suffit de rappeler que c’est Descartes qui a répondu victorieusement à cette argumentation universellement adoptée avant lui.

[2] **) Il est facile d’imaginer un semblable problème. Supposons, par exemple, qu’il soit question d’une sphère dont le volume soit à l’unité de volume comme une ligne donnée a à son rayon ; en désignant ce rayon par $r,$ on aura ${\frac {a}{r^{4}}}={\frac {4\pi }{3}}.$

[3] ***) $x^{2}+bx=a,\;x^{2}+a=bx,\;x^{2}=a+bx.$ L’auteur, voulant parler ici du progrès qu’il a fait faire à l’algèbre, fait abstraction en cet endroit des trois formes $a=x,\;a=x^{2},\;bx=x^{2},$ qui se trouvaient aussi dans les ouvrages de ses prédécesseurs, comme de problèmes tout à fait inférieurs.

[4] ****) C’est-à-dire la démonstration des procédés qui constituent leur résolution.

[1]

[2]

[3]

[4]