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des propriétés des sections coniques, il faut s’en rapporter à ce qui est contenu dans les deux (premiers) livres des Coniques. Lorsque l’objet du problème est un nombre absolu (*[1]), ni moi, ni aucun des savants qui se sont occupés d’algèbre, n’avons réussi à trouver la démonstration de ces équations (et peut-être un autre qui nous succédera comblera-t-il cette lacune), que lorsqu’elles renferment seulement les trois premiers degrés, à savoir : le nombre, la chose et le carré. Pour ces espèces, dont la démonstration s’effectue au moyen de l’ouvrage d’Euclide, j’en indiquerai la démonstration numérique (**[2]). Et sachez que la démonstration géométrique de ces procédés ne rend pas superflue leur démonstration numérique, lorsque l’objet du problème est un nombre, et non pas une grandeur mesurable. Aussi voyez-vous bien qu’Euclide, après avoir démontré certains théorèmes relatifs à la proportionnalité des quantités géométriques, dans le cinquième livre de son ouvrage, donne derechef la démonstration exactement des mêmes théorèmes de proportionnalité, lorsque leur objet est un nombre, dans le septième livre (***[3]).

Les équations ayant lieu entre ces quatre degrés sont, ou simples, ou composées. Des équations simples, il y a six espèces (****[4]) :

1o Un nombre est égal à une racine ;

2o Un nombre est égal à un carré ;

3o Un nombre est égal à un cube ;

  1. *) C’est-à-dire lorsqu’il s’agit de satisfaire à l’équation proposée par un nombre entier. Voyez la préface.
  2. **) Il faut toujours entendre : la démonstration de la résolution lorsqu’il s’agit de satisfaire à l’équation par un nombre entier. Je ne répéterai plus cette remarque dans la suite.
  3. ***) Voir Eucl., Élém. VII, prop. 4·22.
  4. ****)

    J’échange ici les numéros 5 et 6 l’un contre l’autre ; c’est l’ordre suivi plus tard par l’auteur lorsqu’il discute des équations une à une.