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à-dire au carré de la moitié (du nombre) des racines. Le rectangle ZB est égal à deux et demie des racines du carré AC, parce que ZA est égale à deux et demi. Les quatre rectangles seront donc ensemble égaux à dix racines du carré AC. Mais on avait supposé le carré AC ensemble avec dix de ses racines égal à trente-neuf en nombre. Conséquemment le carré HT est égal à-soixante-quatre. Prenons-en la racine, et retranchons d’elle cinq. Il reste AB.

Supposons encore (*^[1]) qu’une ligne AB (fig. 6) soit donnée égale à dix, et que l’on demande le carré qui, ajouté au produit de son côté en AB, soit égal au nombre donné. Représentons le nombre donné par la figure E, laquelle soit un parallélogramme à angles droits, ainsi que nous l’avons dit précédemment (**^[2]), Appliquons à la ligne AB un parallélogramme égal au rectangle E et excédant d’un carré, ainsi qu’Euclide l’a expliqué dans le sixième livre des Éléments. Que ce soit le rectangle BD, et que le carré 13excédant soit AD ; le côté AC de ce carré sera connu, conformément à ce qui se trouve établi dans les Données (***^[3]).

Seconde espèce. « Un carré et un nombre sont égaux à des racines (****^[4]). » Il est nécessaire, dans cette espèce, que le nombre ne soit pas plus grand que le carré de la moitié (du nombre) des racines. Sinon, le problème est impossible. Lorsque le nombre est égal au carré de la moitié (du nombre) des racines, la moitié (du nombre) des racines est elle-même la racine du carré. Lorsque le nombre est plus petit, on le re-

↑ *) AB = 10, E = 39. La construction d’Euclide, Éléments VI, 29, implique la détermination d’une ligne AC telle que BD = ${\overline {\text{AB}}}$ ² + AC. AB = E ; donc X = AC.
↑ **) Pag. 14, lig. 12.
↑ ***) Prop. 59, éd. d'Oxford, 1703, fol., p. 497.
↑ ****) VIII, x2 + a = bx (b = 10).
Condition : a $\textstyle {\tfrac {=}{<}}$ ( $\textstyle {\tfrac {b}{2}})$ ² (sans cela en effet x est imaginaire)
(1) a = ( $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ )² ... x = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ 2) a < ( $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ )² ... x = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}=x$ ² $\textstyle {\tfrac {+}{-}}$ $\textstyle {\sqrt[{}]{{\tfrac {b}{2}})2-a}}$

[1] *) AB = 10, E = 39. La construction d’Euclide, Éléments VI, 29, implique la détermination d’une ligne AC telle que BD = ${\overline {\text{AB}}}$ ² + AC. AB = E ; donc X = AC.

[2] **) Pag. 14, lig. 12.

[3] ***) Prop. 59, éd. d'Oxford, 1703, fol., p. 497.

[4] ****) VIII, x2 + a = bx (b = 10).
Condition : a $\textstyle {\tfrac {=}{<}}$ ( $\textstyle {\tfrac {b}{2}})$ ² (sans cela en effet x est imaginaire)
(1) a = ( $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ )² ... x = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ 2) a < ( $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ )² ... x = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}=x$ ² $\textstyle {\tfrac {+}{-}}$ $\textstyle {\sqrt[{}]{{\tfrac {b}{2}})2-a}}$

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