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tranche du carré de la moitié ( du nombre) des racines, on prend la racine du reste et on l’ajoute à la moitié (du nombre) des racines, ou la retranche de cette dernière. Le résultat, tant de l’addition que de la soustraction, est la racine du carré.

La démonstration arithmétique est conforme à la démonstration géométrique (*^[1]) (qui suit). Supposons un carré ABCD (fig. 7), et supposons (le rectangle) ED, égal au nombre, joint à ce carré du côté de AD. Le rectangle (produit) EC sera donc égal à dix (**^[2]) côtés du carré AC, et conséquemment EB sera égale à dix. Que dans la première figure(7, 1) AB soit égale à la moitié de EB, dans la seconde(7, 2) plus grande, et dans la troisième (7, a) plus petite que la moitié de EB. Alors, dans la première figure, AB sera égale à cinq. Dans la seconde et dans la troisième figure, divisons EB au point Z, en sorte que la ligne EB soit divisée en deux parties égales au point Z, et en deux parties inégales au point A. Donc, le rectangle EA en AB, ajouté au carré de ZA, sera égal au carré de ZB, ainsi qu’il est expliqué au second livre des Éléments. Le rectangle EA en AB, étant égal au nombre, est connu ; conséquemment, lorsqu’on le retranche du

↑ *) AB = AD = x, ED = a, EC = 10 . AB = bx, EB = 10 = b ;
1) x = AB = $\textstyle {\tfrac {EB}{2}}=x$ = 5 ;
$\textstyle {\tfrac {2)}{3)}}$ AB $\textstyle {\tfrac {>}{<}}$ $\textstyle {\tfrac {EB}{2)}}$ , EZ = ZB, EA . AB + ${\overline {\text{AZ}}}$ ² = ${\overline {\text{BZ}}}$ ² (Euclide, Éléments, ii, b) ;
EA . AB = ED = a et BZ = $\textstyle {\tfrac {BE}{2}}$ = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ étant connus, on connaîtra donc
${\overline {\text{AZ}}}$ ² et AZ, ainsi que $\textstyle {\tfrac {2)}{3)}}$ ZB $\textstyle {\tfrac {+}{-}}AZ=AB=x$ . —
Voici le principe de cette démonstration : la proposition d’Euclide implique pour les cas 2) et 3) que x (b — x) + [ $\textstyle {\tfrac {+}{-}}$ (x = - $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ ]² = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ ², mais xb - x² = a, donc $\textstyle {\tfrac {+}{-}}$ (x = - $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ = $\textstyle {\sqrt[{}]{\tfrac {b}{2}}}2-a$ ou x = $\textstyle {\sqrt[{}]{\tfrac {b}{2}}}2-a$ . Au cas 1. le radical disparaît, parce que a = ( $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ ², donc x = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ .
↑ **) La valeur spéciale adoptée ici, rappelle encore l’énoncé donné de cette équation par Moh. Ben Moûçâ.

[1] *) AB = AD = x, ED = a, EC = 10 . AB = bx, EB = 10 = b ;
1) x = AB = $\textstyle {\tfrac {EB}{2}}=x$ = 5 ;
$\textstyle {\tfrac {2)}{3)}}$ AB $\textstyle {\tfrac {>}{<}}$ $\textstyle {\tfrac {EB}{2)}}$ , EZ = ZB, EA . AB + ${\overline {\text{AZ}}}$ ² = ${\overline {\text{BZ}}}$ ² (Euclide, Éléments, ii, b) ;
EA . AB = ED = a et BZ = $\textstyle {\tfrac {BE}{2}}$ = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ étant connus, on connaîtra donc
${\overline {\text{AZ}}}$ ² et AZ, ainsi que $\textstyle {\tfrac {2)}{3)}}$ ZB $\textstyle {\tfrac {+}{-}}AZ=AB=x$ . —
Voici le principe de cette démonstration : la proposition d’Euclide implique pour les cas 2) et 3) que x (b — x) + [ $\textstyle {\tfrac {+}{-}}$ (x = - $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ ]² = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ ², mais xb - x² = a, donc $\textstyle {\tfrac {+}{-}}$ (x = - $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ = $\textstyle {\sqrt[{}]{\tfrac {b}{2}}}2-a$ ou x = $\textstyle {\sqrt[{}]{\tfrac {b}{2}}}2-a$ . Au cas 1. le radical disparaît, parce que a = ( $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ ², donc x = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ .

[2] **) La valeur spéciale adoptée ici, rappelle encore l’énoncé donné de cette équation par Moh. Ben Moûçâ.

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