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cette ligne. Or, appliquons à la ligne connue AB un rectangle égal au rectangle connu E et défaillant d’un carré, ce qui est possible (*^[1]), parce que le rectangle E n’est pas plus grand que le carré de la moitié de AB. Que ce soit le rectangle AZ, et que le carré défaillant soit CD, conformément à ce qui est exposé par Euclide dans le sixième livre des Éléments. Le côté CB sera alors connu, ainsi qu’il est expliqué dans les Données (**^[2]). Mais c’est ce qu’il s’agissait de montrer.

Il est évident que cette espèce comprend différents cas (***^[3]), et qu’elle donne lieu à des problèmes impossibles (****^[4]). Quant aux conditions de sa solubilité en nombres entiers, elles peuvent être déduites de ce que nous en avons dit à l’occasion de la première espèce (*****^[5]).

Troisième espèce. « Un nombre et des racines sont égaux à un carré (******^[6]). » On ajoute le carré de la moitié (du nombre) des racines au nombre, puis on prend la racine de la somme, et l’ajoute à la moitié (du nombre) des racines. Ce qui résulte est la racine du carré.

↑ *) Voir Euclide, Éléments, VI, 27, 28.
↑ **) Prop. 58.
↑ ***) A savoir les cas x > = < b/2
↑ ****) A savoir lorsque a > (b/2)².
↑ *****) En ce cas-ci, une des deux valeurs pourra être entière sans qu’aucune des deux conditions dont veut parler l’auteur soit remplie ; on n’a qu’à supposer a = σ . α , b = σ + α, une des deux solutions sera α. Mais, même afin de les rendre entières toutes les deux, la première condition, que b soit pair, n’est pas nécessaire ; et quant à la seconde, que ( $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ ) 2 — a doit être un nombre carré, il est nécessaire seulement que cette expression soit de la forme ( $\textstyle {\tfrac {p}{2}}$ )², p désignant un nombre entier pair ou impair. Pour s’en convaincre, il suffit de supposer a = α . β, b = α + β en désignant par α un nombre positif, entier et pair, par β un nombre positif, entier et impair.
↑ ******) ix, bx + a = x² ; $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ + $\textstyle {\sqrt[{}]{a+{\tfrac {b}{2}}}}=$ = x.

[1] *) Voir Euclide, Éléments, VI, 27, 28.

[2] **) Prop. 58.

[3] ***) A savoir les cas x > = < b/2

[4] ****) A savoir lorsque a > (b/2)².

[5] *****) En ce cas-ci, une des deux valeurs pourra être entière sans qu’aucune des deux conditions dont veut parler l’auteur soit remplie ; on n’a qu’à supposer a = σ . α , b = σ + α, une des deux solutions sera α. Mais, même afin de les rendre entières toutes les deux, la première condition, que b soit pair, n’est pas nécessaire ; et quant à la seconde, que ( $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ ) 2 — a doit être un nombre carré, il est nécessaire seulement que cette expression soit de la forme ( $\textstyle {\tfrac {p}{2}}$ )², p désignant un nombre entier pair ou impair. Pour s’en convaincre, il suffit de supposer a = α . β, b = α + β en désignant par α un nombre positif, entier et pair, par β un nombre positif, entier et impair.

[6] ******) ix, bx + a = x² ; $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ + $\textstyle {\sqrt[{}]{a+{\tfrac {b}{2}}}}=$ = x.

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