Page:L’Algèbre d’Omar Alkhayyami.djvu/55

- 24 -

Démonstration (*^[1]). Que le carré ABCH (fig. 9) soit égal à cinq de ses racines plus six en nombre. Retranchons-en le nombre qui soit représenté par le rectangle AD. Il reste le rectangle EC, égal au nombre de racines, lequel est cinq. La ligne EB sera donc égale à cinq. Nous la divisons en deux parties égales au point Z. La ligne EB sera donc divisée en deux parties égales au point Z, et en même temps on lui a ajouté la partie EA, d’où il suit (**^[2]) que le rectangle BA en AE, c’est-à-dire le rectangle connu AD, plus le carré connu de EZ, est égal au carré de ZA. Le carré de ZA et ZA seront donc connus. Mais ZB est connue ; conséquemment AB est connue.

Il existe encore d’autres démonstrations de ce théorème (***^[3]), la recherche desquelles peut servir d’exercice au lecteur.

1. *) ${\overline {\text{AB}}}^{2}=5AB+6$ ; $AB=AH=x$, $AD=6$, $EC=5AB$, $EB=6$, $EZ=ZB={\tfrac {EB}{2}}$ ;
   $BA.EA$ + ${\overline {\text{EZ}}}$ = ${\overline {\text{ZA}}}$ ou $AD$ + ${\overline {\text{EZ}}}$ = ${\overline {\text{ZA}}}$ ;
   mais AD et EZ étant connus, ${\overline {\text{ZA}}}$, $ZA$ et $ZA+ZB=AB=x$ seront également connus. La proposition citée d’Euclide implique en ce cas-ci que
   $x(x-b)+({\tfrac {EB}{2}})^{2}=(x-{\tfrac {EB}{2}})$ ; mais on a $x(x-b)=x^{2}-bx=a$,
   donc $a+({\tfrac {b}{2}})^{2}=(x-{\tfrac {b}{2}})^{2}$ ou \tfrac{b}{2} + $\textstyle {\sqrt[{}]{a+{\tfrac {b}{2}}2}}=x$
2. **) Euclide, Éléments, II, 6.
3. ***) Voici l’exposé de celle donnée par Mohammed Ben Moûçà (édition de Rosen, p. 19 et \r — voir fig. 9, a).
   Équation proposée : $3x+4=x^{2}$.
   Démonstration : $AD=x^{2}$ ; $HC=3$, $HD=3x$ ; $HB=AD-HD=x^{2}-3x=4$. — ...$a$
   $CG=GH={\tfrac {HC}{2}}={\tfrac {3}{2}}$ ; $HT={\overline {\text{HG}}}^{2}=({\tfrac {3}{2}})^{2}=2{\tfrac {1}{4}}$. — ... $({\tfrac {b}{2}})^{2}$
   TL = AH ; GT = GH ; GT + TL = GH + HA, GL = GA ; MA = GL = GA ;
   donc 1) AB — MA = AC — GA, BM = CG = GH = LN
   2) GL — GT = GA — GH, TL = AH = MN ;
   BM. MN = TL. LN, BN = TN ;
   4 = HB = AN + BN = AN + TN ;
   GM = HT + (AN + TN) = 2 $\textstyle {\tfrac {1}{4}}$ + 4 ; ··· ($\textstyle {\tfrac {b}{2}}$² + a
   AG = $\textstyle {\sqrt[{}]{2{\tfrac {1}{4}}+4}}=2{\tfrac {1}{2}}$ ; ... $\textstyle {\sqrt[{}]{({\tfrac {b}{2}})^{2}+a}}$
   $x=AG+CG=2$ $\textstyle {\tfrac {1}{2}}$ + $\textstyle {\tfrac {3}{2}}$ = 4. —… $\textstyle {\sqrt[{}]{({\tfrac {b}{2}})^{2}+a}}+{\tfrac {b}{2}}$