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Démonstration (*[1]). Que le carré ABCH (fig. 9) soit égal à cinq de ses racines plus six en nombre. Retranchons-en le nombre qui soit représenté par le rectangle AD. Il reste le rectangle EC, égal au nombre de racines, lequel est cinq. La ligne EB sera donc égale à cinq. Nous la divisons en deux parties égales au point Z. La ligne EB sera donc divisée en deux parties égales au point Z, et en même temps on lui a ajouté la partie EA, d’où il suit (**[2]) que le rectangle BA en AE, c’est-à-dire le rectangle connu AD, plus le carré connu de EZ, est égal au carré de ZA. Le carré de ZA et ZA seront donc connus. Mais ZB est connue ; conséquemment AB est connue.
Il existe encore d’autres démonstrations de ce théorème (***[3]), la recherche desquelles peut servir d’exercice au lecteur.
- ↑ *)
;
,
,
,
,
;
+
=
ou
+
=
;
mais AD et EZ étant connus,
,
et
seront également connus. La proposition citée d’Euclide implique en ce cas-ci que
; mais on a
,
donc
ou \tfrac{b}{2} +
- ↑ **) Euclide, Éléments, II, 6.
- ↑ ***) Voici l’exposé de celle donnée par Mohammed Ben Moûçà (édition de Rosen, p. 19 et \r — voir fig. 9, a).
Équation proposée :
.
Démonstration :
;
,
;
. — ...![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
;
. — ... ![{\displaystyle ({\tfrac {b}{2}})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd6bdb389c611b57eea523a00fb79dda5011ced)
TL = AH ; GT = GH ; GT + TL = GH + HA, GL = GA ; MA = GL = GA ;
donc 1) AB — MA = AC — GA, BM = CG = GH = LN
2) GL — GT = GA — GH, TL = AH = MN ;
BM. MN = TL. LN, BN = TN ;
4 = HB = AN + BN = AN + TN ;
GM = HT + (AN + TN) = 2
+ 4 ; ··· (
2 + a
AG =
; ... ![{\displaystyle \textstyle {\sqrt[{}]{({\tfrac {b}{2}})^{2}+a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39843fada93e31d51c4d2292c690b688f862cbfc)
+
= 4. —…