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Supposons encore (*^[1]) que la ligne BE (fig. 10) soit égale au nombre des racines, et qu’on demande un carré et son côté, en sorte que ce carré soit égal au nombre (donné) de ses côtés plus le nombre donné. Que le nombre donné soit représenté par le rectangle T, et que H soit un carré égal à ce rectangle. Construisons un carré égal à la somme du carré H15et du carré de EK, ligne qui est égale à la moitié du nombre des racines. Que le carré construit soit Z. Faisons KC égale au côté de Z, et complétons le carré ABCD. Celui-ci sera le carré qu’il s’agissait de trouver.

Il est évident que ni cette troisième espèce ni la première ne donnent lieu à rien d’impossible, tandis que c’est le cas pour la seconde espèce, laquelle en même temps comprend différents cas, ce qui n’arrive pas dans les deux autres.

Démontrons maintenant que les espèces de la seconde triade de ces équations sont proportionnelles à celles de la première.

Première espèce. « Un cube et des carrés sont égaux à des racines (**^[2]). » Supposons un cube ABCDE (fig. 11), prolongeons AB en ligne droite jusqu’à Z, faisons AZ égale au nombre des carrés, et complétons le solide AZHTCD en guise de prolongement du cubé AE, comme cela se fait habituellement. Le solide AT sera égal au nombre de carrés, et le solide

↑ *) EB = b, T = H = a, EK = $\textstyle {\tfrac {EB}{2}}$ = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ ;
Z = H + ${\overline {\text{EK}}}$ = a + $\textstyle {\tfrac {b}{2}}^{2}$ ^{; KC = côté de Z = $\textstyle {\sqrt[{}]{a+{\tfrac {b}{2}}}}$ ;

BC = BK + KC = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ + $\textstyle {\sqrt[{}]{a+{\tfrac {b}{2}}}}<sup>2</sup>=x$

Je remarque qu’ici l’auteur ne construit pas l’équation carrée proposée, ainsi que c’était le
cas dans ce qui précède, mais la racine de cette équation qu’il prend toute résolue.}
↑ **) x, x² . cx² = bx. Démonstr. : cube ABCDE = x³, AZ = c, AZHTC = cx², BT = x² + cx² = bx ;
K = b, AD = x, K . AD = b . x ; HB. AD = BT = bx ; donc
K . AD = HB . AD et K = HB = BC + HA ou b = x² + cx.

[1] *) EB = b, T = H = a, EK = $\textstyle {\tfrac {EB}{2}}$ = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ ;
Z = H + ${\overline {\text{EK}}}$ = a + $\textstyle {\tfrac {b}{2}}^{2}$ ^{; KC = côté de Z = $\textstyle {\sqrt[{}]{a+{\tfrac {b}{2}}}}$ ;

BC = BK + KC = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ + $\textstyle {\sqrt[{}]{a+{\tfrac {b}{2}}}}<sup>2</sup>=x$

Je remarque qu’ici l’auteur ne construit pas l’équation carrée proposée, ainsi que c’était le
cas dans ce qui précède, mais la racine de cette équation qu’il prend toute résolue.}

[2] **) x, x² . cx² = bx. Démonstr. : cube ABCDE = x³, AZ = c, AZHTC = cx², BT = x² + cx² = bx ;
K = b, AD = x, K . AD = b . x ; HB. AD = BT = bx ; donc
K . AD = HB . AD et K = HB = BC + HA ou b = x² + cx.

[1]

[2]