Page:L’Algèbre d’Omar Alkhayyami.djvu/72

- 41 -

cube soit H. La ligne H ne pourra qu’être ou égale à la ligne AC, ou plus grande que AC, ou plus petite. Si H est égale à AC, le problème est impossible, parce qu’alors le côté du cube cherché sera nécessairement ou égal à H, ou plus petit, ou plus grand que H. Or, si le côté du cube cherché est égal à H, le produit du carré de ce côté en AC sera égal au cube de H, en sorte que le nombre sera égal au nombre de carrés, sans qu’on ait besoin d’ajouter à celui-là le cube (cherché). Si le côté du (cube) cherché 26est plus petit que H, le produit du carré de ce côté en AC sera plus petit que le nombre donné, en sorte que le nombre de car-

1) $BC=AB$ (fig, 21, 1)… ${\overline {\text{BD}}}^{2}=AB.BC$ ; donc D un point situé sur la circonférence de la parabole ; l’autre point dont parle l’auteur aura pour abscisse (en prenant C pour origine) $x={\tfrac {1}{4}}c|{\sqrt[{}]{5}}+1|$ et pour ordonnée $y={\tfrac {1}{4}}c|{\sqrt[{}]{5}}-1|$
2) $BC>AB$ (fig.21, 2)… ${\overline {\text{BD}}}^{2}>AB.BC$ ; d’où il suit que la parabole passe en deçà du point D. — L’auteur dit encore que lorsque ${\sqrt[{}]{a}}>{\tfrac {1}{2}}c$, $x$ doit être compris entre $c$ et ${\sqrt[{3}]{a}}$ ; de l’équation proposée $x^{2}+a=cx^{2}$ il suit immédiatement $cx^{2}>x^{2}$ ou $x<c$ ; il reste donc à prouver que $x>{\sqrt[{3}]{a}}$. Observons d’abord qu’il ne pourra être question d’une rencontre des deux sections coniques que tant que ${\sqrt[{3}]{a}}<{\tfrac {2}{3}}c$, parce que de ${\sqrt[{3}]{a}}{\tfrac {=}{>}}{\tfrac {2}{3}}c$ il suit $27a{\tfrac {=}{>}}8c^{3}>4c^{3}$, ce qui rendrait l’intersection imaginaire. Or on a ${\tfrac {d(c^{2}-x^{3}}{dx}}=3x|{\tfrac {2}{3}}c-x|$, d’où il suit que, pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre $0$ et ${\tfrac {2}{3}}c$, $cx^{2}-x^{3}$ décroîtra avec $x$. Pour $x={\sqrt[{3}]{a}}$, puisque en même temps $c<2{\sqrt[{3}]{a}}$, on trouve $cx^{2}-x^{3}<a$ ; donc pour toutes les valeurs de $x$ plus petites que ${\sqrt[{3}]{a}}$, $cx^{2}-x^{3}<a$, ce qu’il s’agissait de prouver. — Le cas du contact donne deux racines égales et positives $x={\tfrac {2}{3}}c$.
3) $BC<AB$ (fig.21, s)… ${\overline {\text{BD}}}^{2}>AB.BC$ ; la parabole passe au-delà du point D, et rencontre nécessairement l’hyperbole en deux points ; ce qui suit aussi de ce que de ${\sqrt[{3}]{a}}<{\tfrac {1}{2}}c$ on tire $4c^{3}>32a>27a$.