rés sera plus petit que le nombre donné, sans qu’on ajoute encore quelque chose à ce dernier. Enfin, si le côté cherché est plus grand que H, le cube de ce côté sera plus grand que le produit de son carré en AC, sans qu’on ajoute encore le nombre à ce cube.
Puis si H est plus grande que AC, l’impossibilité a lieu dans les trois cas à plus forte raison. Il est donc nécessaire que H soit plus petite que AC ; sinon le problème sera impossible.
Retranchons donc de AC la partie BC égale à H. La ligne BC sera ou égale à AB, ou plus grande que AB, ou plus petite. Qu’elle soit dans la première figure (fig. 21, 1) égale ; dans la seconde (fig. 21, 2), plus grande ; et dans la troisième (fig. 21, 3), plus petite. Complétons dans les trois figures le carré DC, et faisons passer par le point D une hyperbole ayant pour asymptotes les lignes AC, CE. Ce sera dans la première figure la courbe DZ, dans la seconde et dans la troisième DT. Décrivons ensuite une parabole dont le sommet soit situé au point A, dont l’axe soit AC et le paramètre BC. Ce sera dans la première figure AT, dans la seconde AL, et dans la troisième AK. Les deux coniques seront connues de position. Dans la première figure, la parabole passera par le point D, parce que le carré de DB est égal au produit de AB en BC, d’où il suit que D est situé sur la circonférence de la parabole. Celle-ci rencontrera (l’hyperbole) encore dans un autre point, ce qu’on peut reconnaître, par la moindre réflexion. Dans la seconde figure, le point D sera situé en dehors de la circonférence de la parabole, parce que le carré de DB y sera plus grand que le produit de AB en BC ; alors, si les deux coniques se rencontrent dans un autre point par contact ou par intersection, auquel cas la perpendiculaire abaissée de ce point (sur AC) tombe infailliblement sur le segment compris entre les deux points A et B, le problème est possible ; sinon, il est
