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observant que le troisième donnera nécessairement deux cubes comme solution du problème, parce que chacune des (deux) perpendiculaires (abaissées des deux points de rencontre que les deux coniques ont en ce cas) coupera de CA un côté d’un cube (qui satisfait à l’équation proposée), ainsi qu’on vient de le démontrer.

Il résulte de ce qui précède que cette espèce comprend une variété de cas, et qu’elle renferme des problèmes impossibles (*^[1]). Elle a été résolue au moyen des propriétés de deux sections coniques combinées d’une parabole et d’une hyperbole.

Sixième espèce des six espèces d’équations trinômes qui restaient à être discutées : « Un cube est égal à des carrés, plus des nombres (**^[2]). »

Représentons le nombre des carrés par la ligne AB (fig. 2.2.), et construisons un solide ayant pour hauteur AB et pour base un carré, et qui soit égal au nombre donné. Que le côté de sa base soit BC et perpendiculaire à AB. Complétons le rectangle DB, et faisons passer par le point C, qui est connu de position, une hyperbole ayant pour asymptotes les droites AB, AD, à savoir la conique CEZ. Puis décrivons une seconde conique, une parabole ayant son sommet au point B, et son axe sur le prolonge-

↑ *) L’équation $x^{2}-cx^{2}+a=0$ a toujours une racine réelle et négative, dont l’auteur ne tient donc aucun compte. Les deux autres racines sont positives ou imaginaires. Dès qu’elles ne sont pas positives, le problème est « impossible ». Quant aux différents cas mentionnés par l’auteur, ils ont été distingués dans la note précédente.
↑ **) xviii, $cx^{2}+a=x^{2}$ . $AB=c$ , $AB.{\overline {\text{BC}}}^{3}=a$ .
AB, AD asymptotes de l’hyperbole équilatère CEZ qui passe par le point C.
B sommet, BK axe, AB paramètre de la parabole BEH.
Hyperbole : $BC:AK=EK:AB$ , ${\overline {\text{BC}}}^{2}:{\overline {\text{AK}}}^{2}={\overline {\text{EK}}}^{2}:{\overline {\text{AB}}}^{2}$
Parabole : $AB:EK=EK:BK$ , ${\overline {\text{EK}}}^{2}:{\overline {\text{AB}}}^{3}=BK:AB$
_________________________________________
${\overline {\text{BC}}}^{3}:{\overline {\text{AK}}}^{2}=BK:AB$ , ${\overline {\text{AK}}}^{2}.BK=AB.{\overline {\text{BC}}}^{2}$
${\overline {\text{AK}}}^{2}.AB+{\overline {\text{AK}}}^{2}.BK={\overline {\text{AK}}}^{2}.AB+AB.{\overline {\text{BC}}}^{2}$ ou ${\overline {\text{BC}}}^{3}=c.{\overline {\text{AK}}}^{2}+a$ , $x=AK$

[1] *) L’équation $x^{2}-cx^{2}+a=0$ a toujours une racine réelle et négative, dont l’auteur ne tient donc aucun compte. Les deux autres racines sont positives ou imaginaires. Dès qu’elles ne sont pas positives, le problème est « impossible ». Quant aux différents cas mentionnés par l’auteur, ils ont été distingués dans la note précédente.

[2] **) xviii, $cx^{2}+a=x^{2}$ . $AB=c$ , $AB.{\overline {\text{BC}}}^{3}=a$ .
AB, AD asymptotes de l’hyperbole équilatère CEZ qui passe par le point C.
B sommet, BK axe, AB paramètre de la parabole BEH.
Hyperbole : $BC:AK=EK:AB$ , ${\overline {\text{BC}}}^{2}:{\overline {\text{AK}}}^{2}={\overline {\text{EK}}}^{2}:{\overline {\text{AB}}}^{2}$
Parabole : $AB:EK=EK:BK$ , ${\overline {\text{EK}}}^{2}:{\overline {\text{AB}}}^{3}=BK:AB$
_________________________________________
${\overline {\text{BC}}}^{3}:{\overline {\text{AK}}}^{2}=BK:AB$ , ${\overline {\text{AK}}}^{2}.BK=AB.{\overline {\text{BC}}}^{2}$
${\overline {\text{AK}}}^{2}.AB+{\overline {\text{AK}}}^{2}.BK={\overline {\text{AK}}}^{2}.AB+AB.{\overline {\text{BC}}}^{2}$ ou ${\overline {\text{BC}}}^{3}=c.{\overline {\text{AK}}}^{2}+a$ , $x=AK$

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