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Cette espèce ne présente ni variété de cas ni problèmes impossibles (*^[1]).

Après avoir terminé l’examen des quatre équations quadrinômes, discutons les trois espèces dont chacune est composée de deux termes qui sont posés égaux à deux autres termes.

Première espèce des trois équations quadrinômes qui restent. « Un cube et des carrés sont égaux à des côtés et un nombre (**^[2]). »

Faisons BD (fig. 27) égale au côté d’un carré égal au nombre donné des côtés, et CB égale au nombre donné des carrés. Que CB soit perpendiculaire à BD. Construisons un solide ayant pour base le carré de BD, et égal au nombre donné. Que la hauteur de ce solide soit S. La ligne S sera ou plus grande ou plus petite que BC, ou égale à BC.

Que d’abord S soit plus petite que BC(fig. 27, 1). Prenons sur BC un segment AB égal à S, complétons AD, et prenons sur le prolongement de BD une longueur quelconque DZ. Décrivons sur DZ un rectangle égal à AD, lequel soit ED. Le point E sera connu de position, et les côtés du rectangle ED seront tous connus de position et de grandeur. Faisons passer par le point E une hyperbole ayant pour asymptotes ZD, DO. Ce

↑ *) L’équation $x^{2}-cx^{2}-bx-a=0$ a toujours une racine réelle et positive ; les deux autres racines sont ou imaginaires ou négatives, et conséquemment n'existent pas pour l’algébriste arabe.
↑ **) xxiii, $x^{2}+cx^{2}=bx+a$ . ${\overline {\text{BD}}}^{2}=b$ , $BC=c$ , ${\overline {\text{BD}}}^{2}.S=a$ . $S<=>BC$ .
1) $S<BC$ (fig. 27, 1), $AB=S$ . — Rectangle ED = rectangle AD.
$DZ$ , $DO$ , asymptotes de l’hyperbole équilatère EH qui passe par le point E.
A sommet, AB axe, AC paramètre de l’hyperbole équilatère ABT.
Hyperbole $EK$ … $HD=ED=AD$ , $HD+DK=AD+DK$ ou $HB=AM$
${\overline {\text{HK}}}^{2}:{\overline {\text{KA}}}^{2}={\overline {\text{MK}}}^{2}:{\overline {\text{KB}}}^{2}={\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{KB}}}^{2}$
Hyperbole AHT •... ${\overline {\text{HK}}}^{2}:{\overline {\text{KA}}}^{2}=CK:AK$
______________________________
${\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{KB}}}^{2}=CK:AK$ , ${\overline {\text{KB}}}^{2}.CK={\overline {\text{BD}}}^{2}.AK$
${\overline {\text{KB}}}^{2}+{\overline {\text{BF}}}^{2}.BC={\overline {\text{BD}}}^{2}.KB+{\overline {\text{BD}}}^{2}.AB$ ou ${\overline {\text{KB}}}^{2}+c.{\overline {\text{KB}}}^{2}=b.KB+a$ , $x=KB$ .

[1] *) L’équation $x^{2}-cx^{2}-bx-a=0$ a toujours une racine réelle et positive ; les deux autres racines sont ou imaginaires ou négatives, et conséquemment n'existent pas pour l’algébriste arabe.

[2] **) xxiii, $x^{2}+cx^{2}=bx+a$ . ${\overline {\text{BD}}}^{2}=b$ , $BC=c$ , ${\overline {\text{BD}}}^{2}.S=a$ . $S<=>BC$ .
1) $S<BC$ (fig. 27, 1), $AB=S$ . — Rectangle ED = rectangle AD.
$DZ$ , $DO$ , asymptotes de l’hyperbole équilatère EH qui passe par le point E.
A sommet, AB axe, AC paramètre de l’hyperbole équilatère ABT.
Hyperbole $EK$ … $HD=ED=AD$ , $HD+DK=AD+DK$ ou $HB=AM$
${\overline {\text{HK}}}^{2}:{\overline {\text{KA}}}^{2}={\overline {\text{MK}}}^{2}:{\overline {\text{KB}}}^{2}={\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{KB}}}^{2}$
Hyperbole AHT •... ${\overline {\text{HK}}}^{2}:{\overline {\text{KA}}}^{2}=CK:AK$
______________________________
${\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{KB}}}^{2}=CK:AK$ , ${\overline {\text{KB}}}^{2}.CK={\overline {\text{BD}}}^{2}.AK$
${\overline {\text{KB}}}^{2}+{\overline {\text{BF}}}^{2}.BC={\overline {\text{BD}}}^{2}.KB+{\overline {\text{BD}}}^{2}.AB$ ou ${\overline {\text{KB}}}^{2}+c.{\overline {\text{KB}}}^{2}=b.KB+a$ , $x=KB$ .

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