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nombre donné. Il résultera que le solide dont la hase est le carré de BD et la hauteur BE, lequel est égal au nombre donné de côtés du cube de BE, plus le nombre donné de carrés du cube de BE, est égal au cube de BE, plus le nombre donné.

Lorsque S est égale à BC (*^[1]), BC sera le côté du cube. Démonstration. Le cube de BC est égal au nombre donné de ses carrés, et le nombre donné est égal au nombre donné de côtés du cube de BC. Conséquemment le cube de BC, plus le nombre donné, est égal au nombre donné de carrés, plus le nombre donné de côtés de ce cube ; et c’est ce qu’il s’agit d’obtenir. D’un autre côté, le cube de BC, plus le nombre donné de ses côtés, sera égal au nombre donné de ses carrés, plus le nombre donné ; en sorte que ce cas rentre dans la seconde espèce.

Lorsque S est plus grande que BC (fig. 29, 1) (**^[2]), faisons BA égale à S, complétons le rectangle (BZ), et faisons passer la première hyperbole par A et la seconde également par A. Elles se couperont. Or, si les deux coniques ont une seconde rencontre, soit par contact en un seul point ou par intersection en deux points, ainsi que cela est connu d’après le quatrième livre du traité des Coniques, le problème sera possible ; sinon, il

↑ *) 2) S = BC ... x = BC. Démonstr. ${\overline {\text{BC}}}^{3}=BC.{\overline {\text{BC}}}^{2}$ ou ${\overline {\text{BC}}}^{3}=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}$
${\overline {\text{BD}}}^{2}.S={\overline {\text{BD}}}^{2}.BC$ ou $a=b.BC$
___________________________________________
conséquemment ${\overline {\text{BC}}}^{2}+a=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}+b.BC$
Mais en même temps aussi ${\overline {\text{BC}}}^{2}+b.BC=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}+a$ , ce qui rentre dans la catégorie de l'équation 24) $x^{3}+bx=cx^{2}+a$ .
Ce qui échappe à l'auteur, c'est que dans ce cas aussi $x=BD$ sera une solution, et que l'on a
${\overline {\text{BD}}}^{3}={\overline {\text{BD}}}^{2}.BD$ ou ${\overline {\text{BD}}}^{3}=b.BD$
${\overline {\text{BD}}}^{2}.S={\overline {\text{BD}}}^{2}.BC$ ou $a=c.{\overline {\text{BD}}}^{2}$
____________________________________
donc ${\overline {\text{BD}}}^{3}+a=c.{\overline {\text{BD}}}^{2}+b.BD.$
Et en même temps on aura ${\overline {\text{BD}}}^{2}+c.{\overline {\text{BD}}}^{2}=b.BD+a$ , ce qui rentre dans la catégorie de l'équation 23) $x^{3}+cx^{2}=bx+a$ .
↑ **) 3) $S>BC$ (fig. 29, 2), $AB=S$ . - Hyperbole HAT comme auparavant. - A sommet, AB axe, AC paramètre de l’hyperbole équilatère KML. - Ensuite la démonstration donnée pour le cas 1) s’applique trait pour trait à cette seconde figure.

5.

[1] *) 2) S = BC ... x = BC. Démonstr. ${\overline {\text{BC}}}^{3}=BC.{\overline {\text{BC}}}^{2}$ ou ${\overline {\text{BC}}}^{3}=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}$
${\overline {\text{BD}}}^{2}.S={\overline {\text{BD}}}^{2}.BC$ ou $a=b.BC$
___________________________________________
conséquemment ${\overline {\text{BC}}}^{2}+a=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}+b.BC$
Mais en même temps aussi ${\overline {\text{BC}}}^{2}+b.BC=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}+a$ , ce qui rentre dans la catégorie de l'équation 24) $x^{3}+bx=cx^{2}+a$ .
Ce qui échappe à l'auteur, c'est que dans ce cas aussi $x=BD$ sera une solution, et que l'on a
${\overline {\text{BD}}}^{3}={\overline {\text{BD}}}^{2}.BD$ ou ${\overline {\text{BD}}}^{3}=b.BD$
${\overline {\text{BD}}}^{2}.S={\overline {\text{BD}}}^{2}.BC$ ou $a=c.{\overline {\text{BD}}}^{2}$
____________________________________
donc ${\overline {\text{BD}}}^{3}+a=c.{\overline {\text{BD}}}^{2}+b.BD.$
Et en même temps on aura ${\overline {\text{BD}}}^{2}+c.{\overline {\text{BD}}}^{2}=b.BD+a$ , ce qui rentre dans la catégorie de l'équation 23) $x^{3}+cx^{2}=bx+a$ .

[2] **) 3) $S>BC$ (fig. 29, 2), $AB=S$ . - Hyperbole HAT comme auparavant. - A sommet, AB axe, AC paramètre de l’hyperbole équilatère KML. - Ensuite la démonstration donnée pour le cas 1) s’applique trait pour trait à cette seconde figure.

[1]

[2]