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sera impossible. Si les deux coniques se coupent, abaissons des deux points d’intersection deux perpendiculaires ; elles détermineront, comme segments, deux côtés correspondant à deux cubes (dont chacun satisfait à l’équation proposée). La démonstration est comme ci-dessus, sans que rien y soit changê.

On vient de démontrer que cette espèce a différents cas, et parmi eux d’impossibles (*^[1]). Elle a été résolue au moyen des propriétés de deux hyperboles.

Il est évident aussi que ces trois équations quadrinômes rentrent l’une dans l’autre, c’est-à-dire qu’on trouve un cas de la première qui est exactement aussi un cas de la seconde (**^[2]), et un cas de la seconde identique avec un cas de la troisième, et un cas de la troisième qui s’identifie absolument avec un cas de la seconde, ainsi que nous l’avons démontré.

Après avoir ainsi terminé la discussion des vingt-cinq espèces des propositions de l’algèbre, après en avoir fait l’examen le plus exact et le plus complet, après avoir fait connaitre les cas particuliers de chacune de ces espèces, après avoir proposé

↑ *) Dans les cas $S{\tfrac {<}{=}}BC$ , c.-à-d. ${\tfrac {a}{b}}{\tfrac {<}{=}}c$ , l'équation $(x^{2}-cx^{2}-bx+a=0$ a toujours deux racines positives.
Dans le cas ${\tfrac {a}{b}}<c$ , l'auteur ne trouve par sa construction qu'une seule de ces deux racines, tandis que l'autre lui échappe. À cette dernière correspond le point d'intersection P (fig. 29, 1) de l'hyperbole HAT avec l'autre branche de l'hyperbole KCL. La perpendiculaire abaissée de P sur BA rencontrera cette droite entre B et A, c.-à-d. que cette perpendiculaire rencontrera le côté positif de l'axe des abscisses. L'auteur aurait dû remarquer cette circonstance.
Lorsque ${\tfrac {a}{b}}=c$ , l'autre racine positive est $x=+\textstyle {\sqrt {b}}$ ou $x=BD$
Pour le cas ${\tfrac {a}{b}}>c$ , l'auteur observe avec justesse que, ou bien les deux coniques auront une intersection en deux points, ou un contact en un point, ou le problème sera impossible ; c.-à-d. que l'équation a, ou bien deux racines positives et inégales, ou positives et égales ( $x={\tfrac {1}{3}}c+{\tfrac {1}{2}}\textstyle {\sqrt {3b+c^{2}}}$ , ou deux racines imaginaires.
Dans tous les trois cas l'équation a, outre ces deux racines conjuguées, une racine réelle et négative, dont l'existence est naturellement ignorée par l'algébriste arabe.
↑ **) Plutôt de la troisième. Voir pag. 60 sqq.

[1] *) Dans les cas $S{\tfrac {<}{=}}BC$ , c.-à-d. ${\tfrac {a}{b}}{\tfrac {<}{=}}c$ , l'équation $(x^{2}-cx^{2}-bx+a=0$ a toujours deux racines positives.
Dans le cas ${\tfrac {a}{b}}<c$ , l'auteur ne trouve par sa construction qu'une seule de ces deux racines, tandis que l'autre lui échappe. À cette dernière correspond le point d'intersection P (fig. 29, 1) de l'hyperbole HAT avec l'autre branche de l'hyperbole KCL. La perpendiculaire abaissée de P sur BA rencontrera cette droite entre B et A, c.-à-d. que cette perpendiculaire rencontrera le côté positif de l'axe des abscisses. L'auteur aurait dû remarquer cette circonstance.
Lorsque ${\tfrac {a}{b}}=c$ , l'autre racine positive est $x=+\textstyle {\sqrt {b}}$ ou $x=BD$
Pour le cas ${\tfrac {a}{b}}>c$ , l'auteur observe avec justesse que, ou bien les deux coniques auront une intersection en deux points, ou un contact en un point, ou le problème sera impossible ; c.-à-d. que l'équation a, ou bien deux racines positives et inégales, ou positives et égales ( $x={\tfrac {1}{3}}c+{\tfrac {1}{2}}\textstyle {\sqrt {3b+c^{2}}}$ , ou deux racines imaginaires.
Dans tous les trois cas l'équation a, outre ces deux racines conjuguées, une racine réelle et négative, dont l'existence est naturellement ignorée par l'algébriste arabe.

[2] **) Plutôt de la troisième. Voir pag. 60 sqq.

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