Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/137

des signes contraires ; on aura donc simplement

$\mathrm {K} =2\cos {\frac {\nu \varpi }{2m}},$

posant pour $\nu$ tous les nombres entiers positifs, depuis zéro jusqu’à $m-1.$ Par cette valeur générale de $\mathrm {K} ,$ on trouvera (18) celle de $\mathrm {R}$ par le moyen de l’équation

${\frac {\mathrm {R} ^{2}}{e}}+2=\mathrm {K} .$

car on aura

$\mathrm {R} ^{2}=2e\left(\cos {\frac {\nu \varpi }{2m}}-1\right)=-4e\left(\sin {\frac {\nu \varpi }{4m}}\right)^{2}$

par les théorèmes cités, d’où il résulte

$\mathrm {R} =\pm 2{\sqrt {e}}\sin {\frac {\nu \varpi }{4m}}{\sqrt {-1}}.$

On déduira encore de la valeur de $\mathrm {K}$ celles des quantités $a$ et $b,$ comme il suit :

$a=\cos {\frac {\nu \varpi }{2m}}+{\sqrt {\left(\cos {\frac {\nu \varpi }{2m}}\right)^{2}-1}},\quad b=\cos {\frac {\nu \varpi }{2m}}-{\sqrt {\left(\cos {\frac {\nu \varpi }{2m}}\right)^{2}-1}},$

savoir

$a=\cos {\frac {\nu \varpi }{2m}}+\sin {\frac {\nu \varpi }{2m}}{\sqrt {-1}},\qquad b=\cos {\frac {\nu \varpi }{2m}}-\sin {\frac {\nu \varpi }{2m}}{\sqrt {-1}},$

d’où l’on tire, en substituant,

$\mathrm {M} _{\mu }={\frac {\left(\cos {\cfrac {\nu \varpi }{2m}}+\sin {\cfrac {\nu \varpi }{2m}}{\sqrt {-1}}\right)^{\mu }-\left(\cos {\cfrac {\nu \varpi }{2m}}-\sin {\cfrac {\nu \varpi }{2m}}{\sqrt {-1}}\right)^{\mu }}{2\sin {\cfrac {\nu \varpi }{2m}}{\sqrt {-1}}}},$

laquelle expression se réduit encore, par les mêmes théorèmes ci-dessus, à

$\mathrm {M} _{\mu }={\frac {\sin {\cfrac {\mu \nu \varpi }{2m}}}{\sin {\cfrac {\nu \varpi }{2m}}}}.$