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si l’on développe chaque terme par les théorèmes de la multiplication des angles, on aura les deux séries

${\begin{aligned}&{\frac {\cos(\varphi -\theta )+\cos 2(\varphi -\theta )+\cos 3(\varphi -\theta )+\ldots }{2}},\\-&{\frac {\cos(\varphi +\theta )+\cos 2(\varphi +\theta )+\cos 3(\varphi +\theta )+\ldots }{2}},\end{aligned}}$

dont chacune est sommable par la théorie des progressions géométriques. Supposons, pour simplifier le calcul, que la série dont on veut prendre la somme soit généralement

$\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\ldots .$

On réduira d’abord chaque terme aux expressions imaginaires exponentielles ; ainsi l’on obtiendra

${\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{2x{\sqrt {-1}}}+e^{3x{\sqrt {-1}}}+\ldots }{2}}+{\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}+e^{-2x{\sqrt {-1}}}+e^{-3x{\sqrt {-1}}}+\ldots }{2}}\,;$

ces deux suites, traitées comme deux progressions géométriques infinies, se changent par les règles connues en

${\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{2\left(1-e^{x{\sqrt {-1}}}\right)}}+{\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2\left(1-e^{-x{\sqrt {-1}}}\right)}},$

et réduisant au dénominateur commun

${\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}-2}{2\left(2-e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}\right)}},$

savoir

${\frac {\cos x-1}{2(1-\cos x)}}=-{\frac {1}{2}}\,;$

telle est la valeur d’une suite quelconque infinie de cosinus, dont les arcs croissent en progression arithmétique.

En appliquant ceci à notre cas, on trouvera pour la somme des deux suites données

$-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}=0,$