Or, par supposition,
![{\displaystyle s=\int z\mathrm {M} dx\quad {\text{et}}\quad r={\frac {ds}{dt}}=\int {\frac {dz}{dt}}\mathrm {M} dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b6c3e0d87fcc70398f0f6dcbcd40566022b9b2b)
ou bien, puisque
exprime la vitesse qui répond à l’espace
et au temps
si on dénote cette vitesse par
on a
![{\displaystyle r=\int u\mathrm {M} dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b198b7b69cbdf1114333ee33be8d2823682ac2dd)
Pour avoir de même les valeurs de
et de
supposons que
soit en général la valeur de
et
celle de
au commencement du mouvement, lorsque
on aura
![{\displaystyle \mathrm {S} =\int \mathrm {ZM} dx\quad {\text{et}}\quad \mathrm {R} =\int \mathrm {UM} dx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5590df949d03f7680df4c0cdc5d99091de9cb730)
substituant ces valeurs, on changera les équations précédentes en celles-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int z\mathrm {M} dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {ZM} dx+{\frac {\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)}{\sqrt {-ck}}}\int \mathrm {UM} dx,\\\int u\mathrm {M} dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {UM} dx-{\sqrt {-ck}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {ZM} dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f085231b044ac706fb34956b44bbff8ef77eadfd)
Il ne nous reste plus qu’à trouver la valeur de
par la résolution de l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}=k\mathrm {M} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c3b153d28af593bfdfcc45d9432266d58c2b60)
qu’on intégrera par la même méthode que nous avons pratiquée ci-dessus ; prenant deux constantes quelconques
et
on trouvera aisément que la valeur de
est en général
or
doit premièrement être égal à zéro lorsque
ce qui donne
et
par conséquent,
![{\displaystyle \mathrm {M=A} \left(e^{x{\sqrt {k}}}-e^{-x{\sqrt {k}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03c9d7b0e7bd6e22a608e290fdaffd0f8f4f27a)
Changeons la constante
et supposons-la divisée par
on aura