l’expression
![{\displaystyle \int \mathrm {U} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4292ab4562823328311ac6efce74194aeb7d3c3)
dans celle-ci
![{\displaystyle \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)\int \mathrm {U} dx-{\sqrt {-k}}\int \left[\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)\int \mathrm {U} dx\right]dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb4dc027aa30e6e84c2bf336c24a873dc415c3ca)
Je remarque maintenant que la valeur de
devient nulle dans les deux cas de
et de
d’où il suit que puisque les formules intégrales que nous manions ici doivent être prises pour toute l’étendue de
depuis
jusqu’à
on aura plus simplement
![{\displaystyle \int \mathrm {U} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=-{\sqrt {-k}}\int \left[\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)\int \mathrm {U} dx\right]dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358a581be435c2d33bc2cb25a9c9e6eb5c6df7a5)
Par une opération contraire, on trouvera ensuite
![{\displaystyle \int \mathrm {Z} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=-{\frac {\mathrm {Z} \cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)}{\sqrt {-k}}}+{\frac {1}{\sqrt {-k}}}\int {\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81bfeaa2ba342c529a9469ec306ef6f3a445e15)
et puisque
lorsque
et
par l’hypothèse du problème, on aura pour notre cas
![{\displaystyle \int \mathrm {Z} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx={\frac {1}{\sqrt {-k}}}\int {\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5eabbb7e6783a57c1db199725eba8351d1827d)
Ces valeurs substituées, il en résulte
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int z\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {Z} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx\\&-{\frac {\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)}{\sqrt {c}}}\int \left(\int \mathrm {U} dx\right)\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx.\\\int u\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {U} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx\\&-{\sqrt {c}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int {\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe95c6577e81cbd3ac7d4520e6b3f18ccb5ab55f)
Avant d’aller plus loin je remarque que comme on aura occasion dans la suite de comparer des valeurs de
et de
avec des valeurs de
et
qui ne répondent pas aux mêmes
pour ne pas se méprendre dans ces opé-