rations, il sera utile de distinguer par des expressions différentes les
qui conviennent aux
et
d’avec ceux qui conviennent aux
et
je désignerai les premiers par la lettre
que je substituerai partout dans les seconds membres des équations précédentes au lieu de
en retenant néanmoins le
qui ne peut causer aucun embarras ; j’observe de plus que les intégrales qui entrent dans les termes de ces membres se rapportent uniquement à la variable
ou
ce qui fait qu’on peut mettre aussi sous le signe ces quantités
et
qui sont constantes à leur égard ; j’aurai donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int z\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&\int \mathrm {Z} \sin \left(\mathrm {X} {\sqrt {-k}}\right)\cos \left(t{\sqrt {-kc}}\right)dx\\&-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\int \left(\int \mathrm {U} dx\right)\cos \left(\mathrm {X} {\sqrt {-k}}\right)\sin \left(t{\sqrt {-kc}}\right)dx.\\\int u\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&\int \mathrm {U} \sin \left(\mathrm {X} {\sqrt {-k}}\right)\cos \left(t{\sqrt {-kc}}\right)dx\\&-{\sqrt {c}}\int {\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\cos \left(\mathrm {X} {\sqrt {-k}}\right)\sin \left(t{\sqrt {-kc}}\right)dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29ee357f70771b0e658c4a3dac76d17d2ceb2dc5)
Je développe à présent les produits des sinus et cosinus par les méthodes connues ; j’obtiens
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int z\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&{\frac {1}{2}}\int \mathrm {Z} \sin \left[\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}\int \mathrm {Z} \sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&-{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\int \left(\int \mathrm {U} dx\right)\sin \left[\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&+{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\int \left(\int \mathrm {U} dx\right)\sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx.\\\int u\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&{\frac {1}{2}}\int \mathrm {U} \sin \left[\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&+{\frac {1}{2}}\int \mathrm {U} \sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&-{\frac {\sqrt {c}}{2}}\int {\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\sin \left[\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx\\&+{\frac {\sqrt {c}}{2}}\int {\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\sin \left[\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {-k}}\right]dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d50190272e6aca804a39da0116298f8a0fdee4)