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l’ordonnée $yz$ telle que $y\mathrm {T=T} t,$ et en menant les cordes $zr,r''r',$

${\begin{aligned}&{\frac {tr-\mathrm {TR-(TR} -yz)}{2}}+{\frac {t'r'-\mathrm {T'R'-(T'R'} -t''r'')}{2}}\\&\quad {\frac {tr+yz-2\mathrm {TR} }{2}}+{\frac {t'r'+t''r''-2\mathrm {T'R'} }{2}}\\&\quad {\frac {-\mathrm {R} x-\mathrm {R} 'x'}{2}},\end{aligned}}$

et que, en ne faisant varier que $x,$ la valeur de $d^{2}y$ sera

${\frac {tr-\mathrm {TR-(TR} -zy)}{2}}+{\frac {t''r''-\mathrm {T'R'-(T'R'} -t'r')}{2}}={\frac {-\mathrm {R} x-\mathrm {R} 'x'}{2}}\,;$

donc

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {-\mathrm {R} x-\mathrm {R} 'x'}{2{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}},\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {-\mathrm {R} x-\mathrm {R} 'x'}{2{\overline {\mathrm {P} p}}^{2}}}={\frac {-\mathrm {R} x-\mathrm {R} 'x'}{2{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}},$

en supposant $\mathrm {T} t=\mathrm {P} p,$ et l’équation

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$

devient identique.

2^o M. d’Alembert prétend ensuite que la courbure doit être nulle aux extrémités $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$ « Car soit, dit-il dans le § VIII, $\mathrm {PT}$ et $\mathrm {PT} '$ égaux à $\mathrm {AP} ,$ on a, en ne faisant varier que $t,$

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\theta \rho +\mathrm {TR} -2tr}{2{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}}+{\frac {l's'-2\mathrm {L'Q'} }{2{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}}={\frac {-ro+\mathrm {Q} 'q'}{2{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}},$

et non pas

${\frac {-ro-\mathrm {Q} 'q'}{2{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}},$

parce que

$l's'-2\mathrm {Q'L'=-2Q'} q',$

et que $l's'$ et $\mathrm {Q'L'}$ doivent être prises négativement par leur position, et par la construction de M. Euler. Maintenant, en ne faisant varier que $x,$ on aura

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {-ro-\mathrm {Q} 'q'}{2{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}}\,;$

donc ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ ne sera pas égal à ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},$ si la courbure n’est pas nulle en $\mathrm {A} .$ »