Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/388

Ce raisonnement est semblable à celui auquel je viens de répondre, et se réfute par conséquent de la même manière. En effet, la valeur de ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$ au point $\mathrm {A}$ n’est pas

${\frac {\theta \rho +\mathrm {TR} -2tr}{2{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}}+{\frac {l's'-2\mathrm {L'Q'} }{2{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}},$

comme le suppose M. d’Alembert, mais

${\frac {tr+zy-2\mathrm {TR} }{2{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}}+{\frac {\mathrm {L'Q'+QL} }{2{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}}={\frac {\mathrm {R} x}{2{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}},$

parce que $\mathrm {L'Q'}$ étant égale et de position contraire à $\mathrm {QL} ,$ suivant la construction de M. Euler et la mienne, on a

$\mathrm {L'Q'+LQ} =0\,;$

de même la valeur de ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ est

${\frac {tr+zy-2\mathrm {TR} }{2{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}}+{\frac {\mathrm {LQ+L'Q'} }{{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}}={\frac {\mathrm {R} x}{2{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}},$

et non pas

${\frac {-ro-\mathrm {Q} q}{{\overline {\mathrm {T} t}}^{2}}}\,;$

donc ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$ est toujours égal à ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$ quelle que soit la courbure en $\mathrm {A} .$

3^o Autre argument de M. d’Alembert pour prouver que la courbure doit être uniforme dans chaque portion infiniment petite de la courbe $\mathrm {AMB} .$ Il donne à la différence $dt$ deux valeurs différentes à volonté, et il trouve que, pour que la valeur de ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$ soit toujours la même et égale à celle de ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$ il faut que les flèches $ro,$ qui appartiennent à différents arcs infiniment petits $\mathrm {R} r\rho ,$ soient toujours proportionnelles aux carrés des portions correspondantes $\mathrm {T} \theta$ de l’axe ; ce qui ne peut avoir lieu que dans des arcs de courbure uniforme, comme M. d’Alembert le démontre fort au long dans le § X de son Mémoire.

À cela je répondrai qu’il n’est nullement nécessaire, pour la géné-