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bile, on aurait pour lors $dx,dy$ et $\delta x,\delta y$ chacun égal à zéro, et les équations du mouvement des deux corps seraient

$(\varphi )=0,\quad (\varphi ')=0\quad {\text{et}}\quad (f)-(f')=0,$

savoir, à cause que $dx=0,\ dy=0$ et $f'=a-f,$

$d{\frac {f^{2}d\varphi }{dt}}=0,\qquad {\frac {(a-f)^{2}d\varphi '}{dt}}=0,$

et

${\frac {f\left(d\varphi ^{2}+d\varphi '^{2}\right)}{dt}}+2d{\frac {df}{dt}}=0$^[1].

Les deux premières équations, étant intégrées, donneront

$d\varphi ^{2}={\frac {\mathrm {A} dt^{2}}{f^{4}}},\qquad d\varphi '^{2}={\frac {\mathrm {B} dt^{2}}{(a-f)^{4}}},$

et, ces valeurs substituées dans la troisième, on aura

${\frac {\mathrm {A} dt}{f^{3}}}-{\frac {\mathrm {B} dt}{(a-f)^{3}}}+2d{\frac {df}{dt}}=0,$

laquelle étant multipliée par ${\frac {df}{dt}},$ et ensuite intégrée, devient

$-{\frac {\mathrm {A} }{2f^{2}}}+{\frac {\mathrm {B} }{2(a-f)^{2}}}+{\frac {df^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {C} ,$

d’où l’on tire

$dt={\frac {df}{\sqrt {\mathrm {C} +{\cfrac {\mathrm {A} }{2f^{2}}}-{\cfrac {\mathrm {B} }{2(a-f)^{2}}}}}}.$

XXIII.

Corollaire VI — Si dans le cas du Corollaire précédent les deux corps $\mathrm {M',M''}$ étaient attachés à une verge droite et inflexible, alors on aurait $\varphi '=\varphi$ et $\delta \varphi '=\delta \varphi ,$ et les équations $(\varphi )=0,\ (\varphi ')=0$ n’en feraient

1. Dans cet Article et dans le suivant. Lagrange ne tient pas compte des masses ; il en résulte que les formules obtenues se rapportent au seul cas où les masses $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} ''$ sont égales entre elles. $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ (Note de l’Éditeur.)