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RECHERCHES SUR LA MÉTHODE
et l’on aura d’abord cette équation
![{\displaystyle pdt+qdu+rdx+sdy+\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489cca0acc655e267fe964ebbc0e77303cdf6356)
Mais comme la relation entre
est encore indéterminée, de même que celle de leurs différentielles
et que d’ailleurs l’équation donnée doit être vraie quel que soit leur rapport, il est évident que pour les chasser tout à fait de l’équation, il faut égaler séparément à zéro chaque membre
d’où l’on tire autant d’équations particulières qu’il y a de variables, savoir :
![{\displaystyle p=0,\quad q=0,\quad r=0,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4822ae2f0366db4496b786bf33f5bf195182e10b)
Par le moyen de toutes ces équations on trouvera les valeurs de chaque inconnue
,
,
qui, substituées dans la fonction proposée
, la rendront un maximum ou un minimum.
3. Passons maintenant à l’examen de la seconde différentielle. En supposant, ce qui est permis, les premières différentielles
constantes, on aura
![{\displaystyle d^{2}\mathrm {Z} =dpdt+dqdu+drdx+dsdy+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90fbf85bfbbfcd8d06abd6e4e8491e5156fee9fe)
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}dp&=\mathrm {A} dt+\mathrm {B} du+\mathrm {D} dx+\mathrm {G} dy+\ldots \\dq&=\mathrm {B} dt+\mathrm {C} du+\mathrm {E} \,dx+\mathrm {H} dy+\ldots \\dr&=\mathrm {D} dt+\mathrm {E} du+\mathrm {F} \,dx+\,\mathrm {I} \ dy+\ldots \\ds&=\mathrm {G} dt+\mathrm {H} du+\,\mathrm {I} \ dx+\,\mathrm {L} dy+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9227ea7cafc47b7af744eb20ff29081c702a4aa)
ce qui donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}\mathrm {Z} =&\mathrm {A} dt^{2}+2\mathrm {B} dtdu+\mathrm {C} du^{2}+2\mathrm {D} dtdx+2\mathrm {E} dudx\\&+\mathrm {F} dx^{2}+2\mathrm {G} dtdy+2\mathrm {H} dudy+2\mathrm {I} dxdy+\mathrm {L} dy^{2}+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d73ff80c63c39a9cf192dc328b083e696039ca)
Pour commencer par le cas le plus simple, supposons qu’il n’y ait qu’une seule variable
, de sorte que
on voit d’abord que, puisque
est toujours positif, la différentielle
doit avoir le même signe que la quantité
donc, si
est positif,
sera un minimum, et si