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ne sont pas indépendants puisque leur somme doit être égale à $\mathrm {N} .$ Nous pouvons cependant utiliser la formule (1) en procédant de la manière suivante : la probabilité pour qu’il y ait $n_{1}$ coups dans le premier intervalle est bien :

${\frac {\mathrm {N} !}{n_{1}!(\mathrm {N} -n_{1})!}}\left({\frac {1}{m}}\right)^{n_{1}}\left(1-{\frac {1}{m}}\right)^{\mathrm {N} -n_{1}}.$

Les $m-1$ autres intervalles ne peuvent contenir que $\mathrm {N} -n$ coups, et la probabilité pour que le premier d’entre eux contienne $n_{2}$ est de la même manière :

${\frac {(\mathrm {N} -n_{1})!}{n_{2}!(\mathrm {N} -n_{1}-n_{2})!}}\left({\frac {1}{m-1}}\right)^{n_{2}}\left(1-{\frac {1}{m-1}}\right)^{\mathrm {N} -n_{1}-n_{2}}$

et ainsi de suite. Si l’on fait maintenant, comme il est correct, le produit de toutes les probabilités composantes, on obtient pour la probabilité cherchée :

${\frac {1}{m^{\mathrm {N} }}}{\frac {\mathrm {N} !}{(n_{1})!(n_{2})!\ldots (n_{m})!}}.$

Autrement dit, puisque le nombre total des distributions possibles est $m^{\mathrm {N} },$ le nombre de manières dont on peut obtenir dans les différents intervalles les nombres de coups assignés est :

(7)

$\mathrm {W} ={\frac {\mathrm {N} !}{(n_{1})!(n_{2})!\ldots (n_{m})!}}.$